Calcule a integral dupla
onde
é a região do 10 quadrante do plano Cartesiano delimitada pelos eixos coordenados e pela circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é tipo somar valores de uma função em uma região específica. No caso, a função que vamos integrar é $ x^{2}y $ e a região $ R $ é o primeiro quadrante do plano cartesiano, limitado pelos eixos $ x $ e $ y $ e pela circunferência $ x^{2} + y^{2} = 9 $. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, e provavelmente vamos precisar mudar para coordenadas polares pra facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ R $. Como está no primeiro quadrante, tanto $ x $ quanto $ y $ são positivos. A circunferência $ x^{2} + y^{2} = 9 $ tem raio 3. Então, nossa região $ R $ é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo de raio 3.
Passo 3
Para calcular a integral dupla, é mais fácil mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. Além disso, o elemento de área $ dA $ em polares é $ r , dr , d\theta $.
Passo 4
Vamos substituir $ x $ e $ y $ na função $ x^{2}y $:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em partes que dependem apenas de $ r $ e apenas de $ \theta $:
Passo 7
Calcular a integral em $ r $:
Passo 8
Agora, calcular a integral em $ \theta $:
Vamos fazer uma substituição: seja $ u = \cos\theta $, então $ du = -\sin\theta , d\theta $. Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $; e quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $. Assim, a integral fica:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos os resultados das integrais em $ r $ e $ \theta $:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{81}{5} $.