Calcule a integral dupla
onde
é a região retangular
e
.
Sugestão: se necessário, use a identidade trigonométrica
Sugestão: se necessário, use a identidade trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um retângulo definido por
e
. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e também usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser resolvida iterando integrais simples. Isso significa que a gente pode integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos escolher a ordem
primeiro.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica sugerida para simplificar
:
Isso vai facilitar a integração, já que teremos funções separadas de
e
.
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral dupla usando a identidade:
Essa integral pode ser dividida em duas integrais separadas:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Como
não depende de
, podemos separar as integrais:
Calculando cada parte:
Então, a primeira integral vale
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
De novo,
não depende de
, então podemos separar:
Calculando cada parte:
Então, a segunda integral também vale
.
Resposta
Somando as duas integrais, temos
. Portanto, a integral dupla é igual a
.