Calcule a integral dupla
integralR integral sen(x+y) d A
onde R é a região retangular 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= pi2.
Sugestão: se necessário, use a identidade trigonométrica
sen(A+B)=sen(A) cos (B)+cos (A) sen(B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sen(x + y) sobre a região R, que é um retângulo definido por 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= pi2. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e também usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar sen(x + y).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser resolvida iterando integrais simples. Isso significa que a gente pode integrar em relação a x primeiro e depois em relação a y, ou vice-versa. Vamos escolher a ordem x primeiro.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica sugerida para simplificar sen(x + y):
sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
Isso vai facilitar a integração, já que teremos funções separadas de x e y.

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral dupla usando a identidade:
integral0^pi2 integral0^pi2 [ sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) ] , dx , dy
Essa integral pode ser dividida em duas integrais separadas:
integral0^pi2 integral0^pi2 sen(x)cos(y) , dx , dy + integral0^pi2 integral0^pi2 cos(x)sen(y) , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^pi2 integral0^pi2 sen(x)cos(y) , dx , dy
Como cos(y) não depende de x, podemos separar as integrais:
( integral0^pi2 sen(x) , dx ) ( integral0^pi2 cos(y) , dy )
Calculando cada parte:
integral0^pi2 sen(x) , dx = [-cos(x)]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
integral0^pi2 cos(y) , dy = [sen(y)]0^pi2 = sen(pi2) - sen(0) = 1 - 0 = 1
Então, a primeira integral vale 1 times 1 = 1.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^pi2 integral0^pi2 cos(x)sen(y) , dx , dy
De novo, cos(x) não depende de y, então podemos separar:
( integral0^pi2 cos(x) , dx ) ( integral0^pi2 sen(y) , dy )
Calculando cada parte:
integral0^pi2 cos(x) , dx = [sen(x)]0^pi2 = sen(pi2) - sen(0) = 1 - 0 = 1
integral0^pi2 sen(y) , dy = [-cos(y)]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Então, a segunda integral também vale 1 times 1 = 1.

Resposta

Somando as duas integrais, temos 1 + 1 = 2. Portanto, a integral dupla é igual a 2.
integralR integral sen(x+y) , dA = 2

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