Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 3, 2 raízes distintas;
grau 3, 2 raízes distintas;
Passo 1
O enunciado pede polinômios de grau 3 que tenham exatamente 2 raízes distintas. Isso significa que uma das raízes deve aparecer com multiplicidade 2 e a outra com multiplicidade 1.
Passo 2
Para gerar um polinômio de grau 3 com 2 raízes distintas, usamos o conceito de multiplicidade de raízes. Se uma raiz
tem multiplicidade 2, isso quer dizer que
divide o polinômio. Se a outra raiz é
, com multiplicidade 1, então temos o fator
.
Passo 3
A forma geral de tais polinômios é
onde
e
. O parâmetro
controla a orientação e a “esticada” do gráfico.
Passo 4
Escolhendo valores concretos para
,
e
, obtemos vários exemplos com comportamento gráfico diferente:
raízes em
(mult. 2) e
(mult. 1), gráfico cruza em
e toca em
de cima para baixo.
raízes em
(mult. 2) e
(mult. 1), o
inverte o gráfico.
raízes em
(mult. 2) e
(mult. 1), esticamento vertical de fator 3.
raízes em
(mult. 2) e
(mult. 1), comportamento padrão com selo
.
Resposta
Alguns exemplos de polinômios de grau 3 com exatamente 2 raízes distintas são:
p₁(x) = (x - 1)² (x - 3)
p₂(x) = -2 (x + 2)² (x - 1)
p₃(x) = 3 x² (x + 4)
p₄(x) = (x + 1)² (x - 2)
p₂(x) = -2 (x + 2)² (x - 1)
p₃(x) = 3 x² (x + 4)
p₄(x) = (x + 1)² (x - 2)