Calcule a integral dupla
integralR integral x y raiz9+x^2 d A
onde R é a região retangular 0 <= x <= 4 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
integralR integral x y raiz9+x^2 , dA
onde a região $ R $ é um retângulo definido por $ 0 \leq x \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla. Como a região $ R $ é retangular, podemos separar a integral em duas integrais simples:
R
Aqui, vamos integrar a função $ x y \sqrt{9+x^{2}} $ primeiro em relação a $ y $ de 0 a 1, e depois em relação a $ x $ de 0 a 4.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a $ y $. A função $ x \sqrt{9+x^{2}} $ pode ser tratada como uma constante durante essa integração, já que não depende de $ y $. Então, temos:
y
A integral de $ y $ em relação a $ y $ é:
x raiz9+x^2
Então, substituindo de volta:
y

Passo 4

Agora, nossa integral dupla reduziu para uma integral simples em relação a $ x $:
x
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
12 integral0^4 x raiz9+x^2 , dx
Substituindo na integral:
u = 9 + x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2

Passo 5

Agora, vamos integrar $ u^{1/2} $:
u^1/2
Então,
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Agora, vamos substituir $ u = 9 + x^{2} $ de volta:
14 cdot 23 u^3/2 = 16 u^3/2 + C

Passo 6

Finalmente, vamos avaliar a integral definida de 0 a 4:
16 [ (9 + x^2)^3/2 ]0^4 = 16 ( (9 + 16)^3/2 - (9 + 0)^3/2 )
Calculando os valores:
(25)^3/2 = 5^3 = 125 (9)^3/2 = 3^3 = 27
Substituindo:
16 (125 - 27) = 16 times 98 = 986 = 493

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{49}{3} $.

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