Calcule a integral dupla
onde
é a região retangular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
onde a região $ R $ é um retângulo definido por $ 0 \leq x \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dupla. Como a região $ R $ é retangular, podemos separar a integral em duas integrais simples:
Aqui, vamos integrar a função $ x y \sqrt{9+x^{2}} $ primeiro em relação a $ y $ de 0 a 1, e depois em relação a $ x $ de 0 a 4.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ y $. A função $ x \sqrt{9+x^{2}} $ pode ser tratada como uma constante durante essa integração, já que não depende de $ y $. Então, temos:
A integral de $ y $ em relação a $ y $ é:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, nossa integral dupla reduziu para uma integral simples em relação a $ x $:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ u^{1/2} $:
Então,
Agora, vamos substituir $ u = 9 + x^{2} $ de volta:
Passo 6
Finalmente, vamos avaliar a integral definida de 0 a 4:
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{49}{3} $.