Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
- Os intervalos nos quais a função é crescente;
- Os intervalos nos quais a função é decrescente;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
- Os valores de
nos quais a função tem extremos locais ou globais;
- Os pontos de inflexão;
- Os limites infinitos.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 1
Vamos analisar a função $ f(x) = 10 + 6x^{2} + x^{3} $. O objetivo é descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo, sua concavidade, pontos de extrema, pontos de inflexão, e os limites quando $ x $ tende ao infinito. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de $ f(x) $, que nos indica onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, igualamos a derivada a zero:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = -4 $.
Passo 4
Agora, vamos testar os intervalos determinados por $ x = -4 $ e $ x = 0 $ na derivada:
- Para $ x < -4 $, por exemplo $ x = -5 $:
- Para $ -4 < x < 0 $, por exemplo $ x = -2 $:
- Para $ x > 0 $, por exemplo $ x = 1 $:
Passo 5
Então, a função $ f(x) $ é crescente nos intervalos $ (-\infty, -4) $ e $ (0, +\infty) $, e decrescente no intervalo $ (-4, 0) $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função:
Passo 7
Vamos encontrar onde a concavidade muda, igualando a segunda derivada a zero:
Esse valor divide os intervalos de concavidade.
Passo 8
Testando os intervalos determinados por $ x = -2 $ na segunda derivada:
- Para $ x < -2 $, por exemplo $ x = -3 $:
- Para $ x > -2 $, por exemplo $ x = 0 $:
Passo 9
Assim, a função é côncava para baixo no intervalo $ (-\infty, -2) $ e côncava para cima em $ (-2, +\infty) $.
Passo 10
Vamos identificar os extremos locais. Sabemos que extremos ocorrem onde a derivada primeira muda de sinal:
- Em $ x = -4 $, a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
- Em $ x = 0 $, a derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Passo 11
Calculando os valores dos extremos:
Então, temos um máximo local em $ (-4, 42) $ e um mínimo local em $ (0, 10) $.
Passo 12
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada é zero:
Então, o ponto de inflexão é $ (-2, f(-2)) $:
Portanto, o ponto de inflexão é $ (-2, 26) $.
Passo 13
Vamos calcular os limites da função quando $ x $ tende ao infinito e menos infinito:
Passo 14
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função. A função passa por um máximo em $ (-4, 42) $, um mínimo em $ (0, 10) $, e tem um ponto de inflexão em $ (-2, 26) $. A concavidade muda em $ x = -2 $, e as retas tangentes nesse ponto serão desenhadas conforme a inclinação da função naquele ponto.
Resposta
A função $ f(x) = 10 + 6x^{2} + x^{3} $ é crescente em $ (-\infty, -4) $ e $ (0, +\infty) $, decrescente em $ (-4, 0) $. É côncava para baixo em $ (-\infty, -2) $ e côncava para cima em $ (-2, +\infty) $. Possui um máximo local em $ (-4, 42) $, um mínimo local em $ (0, 10) $, e um ponto de inflexão em $ (-2, 26) $. Os limites são $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $. O gráfico possui esses pontos destacados e as retas tangentes no ponto de inflexão.