Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
  • Os intervalos nos quais a função é crescente;
  • Os intervalos nos quais a função é decrescente;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
  • Os valores de x nos quais a função tem extremos locais ou globais;
  • Os pontos de inflexão;
  • Os limites infinitos.
    Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
    f(x)=10+6 x^2+x^3

Passo 1

Vamos analisar a função $ f(x) = 10 + 6x^{2} + x^{3} $. O objetivo é descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo, sua concavidade, pontos de extrema, pontos de inflexão, e os limites quando $ x $ tende ao infinito. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de $ f(x) $, que nos indica onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, igualamos a derivada a zero:
12x + 3x^2 = 0 implies 3x(4 + x) = 0
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = -4 $.

Passo 4

Agora, vamos testar os intervalos determinados por $ x = -4 $ e $ x = 0 $ na derivada:
  • Para $ x < -4 $, por exemplo $ x = -5 $:
x = -4
  • Para $ -4 < x < 0 $, por exemplo $ x = -2 $:
x = 0
  • Para $ x > 0 $, por exemplo $ x = 1 $:
x < -4

Passo 5

Então, a função $ f(x) $ é crescente nos intervalos $ (-\infty, -4) $ e $ (0, +\infty) $, e decrescente no intervalo $ (-4, 0) $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função:
f''(x) = ddx(12x + 3x^2) = 12 + 6x

Passo 7

Vamos encontrar onde a concavidade muda, igualando a segunda derivada a zero:
12 + 6x = 0 implies x = -2
Esse valor divide os intervalos de concavidade.

Passo 8

Testando os intervalos determinados por $ x = -2 $ na segunda derivada:
  • Para $ x < -2 $, por exemplo $ x = -3 $:
x = -2
  • Para $ x > -2 $, por exemplo $ x = 0 $:
x < -2

Passo 9

Assim, a função é côncava para baixo no intervalo $ (-\infty, -2) $ e côncava para cima em $ (-2, +\infty) $.

Passo 10

Vamos identificar os extremos locais. Sabemos que extremos ocorrem onde a derivada primeira muda de sinal:
  • Em $ x = -4 $, a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em $ x = 0 $, a derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Passo 11

Calculando os valores dos extremos:
f(-4) = 10 + 6(-4)^2 + (-4)^3 = 10 + 96 - 64 = 42
f(0) = 10 + 6(0)^2 + 0^3 = 10
Então, temos um máximo local em $ (-4, 42) $ e um mínimo local em $ (0, 10) $.

Passo 12

Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada é zero:
x = -2
Então, o ponto de inflexão é $ (-2, f(-2)) $:
(-2, f(-2))
Portanto, o ponto de inflexão é $ (-2, 26) $.

Passo 13

Vamos calcular os limites da função quando $ x $ tende ao infinito e menos infinito:
x
limx to +infty f(x) = +infty

Passo 14

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função. A função passa por um máximo em $ (-4, 42) $, um mínimo em $ (0, 10) $, e tem um ponto de inflexão em $ (-2, 26) $. A concavidade muda em $ x = -2 $, e as retas tangentes nesse ponto serão desenhadas conforme a inclinação da função naquele ponto.

Resposta

A função $ f(x) = 10 + 6x^{2} + x^{3} $ é crescente em $ (-\infty, -4) $ e $ (0, +\infty) $, decrescente em $ (-4, 0) $. É côncava para baixo em $ (-\infty, -2) $ e côncava para cima em $ (-2, +\infty) $. Possui um máximo local em $ (-4, 42) $, um mínimo local em $ (0, 10) $, e um ponto de inflexão em $ (-2, 26) $. Os limites são $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $. O gráfico possui esses pontos destacados e as retas tangentes no ponto de inflexão.

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