Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
a região no segundo quadrante de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região do segundo quadrante limitada pelo círculo
.
O conteúdo que vamos usar é mudança para coordenadas polares, em que
O conteúdo que vamos usar é mudança para coordenadas polares, em que
e os ângulos de
no segundo quadrante vão de
a
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e o elemento de área é
.
Logo a integral fica
Logo a integral fica
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Assim a integral reduz a
Passo 4
Simplificamos o integrando usando identidades trigonométricas:
Então
A integral em
é
Passo 5
Calculando nos limites:
em :
,
em :
.
A diferença é
em
em
A diferença é
Multiplicando pelo fator
obtemos