Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 6 x y+4 x^{2} d A \operatorname{com} D a região no segundo quadrante de x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}\bigl(6xy+4x^2\bigr)\,dA
onde D é a região do segundo quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=9.
O conteúdo que vamos usar é mudança para coordenadas polares, em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e os ângulos de \theta no segundo quadrante vão de \pi/2 a \pi.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
6xy+4x^2 =6(r\cos\theta)(r\sin\theta)+4(r\cos\theta)^2 =6r^2\cos\theta\sin\theta+4r^2\cos^2\theta,
e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
Logo a integral fica
\int_{\theta=\pi/2}^{\pi}\int_{r=0}^{3} \bigl(6r^2\cos\theta\sin\theta+4r^2\cos^2\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{0}^{3}\bigl(6r^3\cos\theta\sin\theta+4r^3\cos^2\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{3}r^3\,dr=\frac{3^4}{4}=\frac{81}{4}.
Assim a integral reduz a
\frac{81}{4} \int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(6\cos\theta\sin\theta+4\cos^2\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Simplificamos o integrando usando identidades trigonométricas:
6\cos\theta\sin\theta=3\sin(2\theta), \quad 4\cos^2\theta=2\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr).
Então
6\cos\theta\sin\theta+4\cos^2\theta =3\sin(2\theta)+2+2\cos(2\theta).
A integral em \theta é
\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(3\sin(2\theta)+2+2\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta =\Bigl[-\tfrac{3}{2}\cos(2\theta)+2\theta+\sin(2\theta)\Bigr]_{\pi/2}^{\pi}.

Passo 5

Calculando nos limites:
em \theta=\pi: -\tfrac{3}{2}\cdot1+2\pi+0=2\pi-\tfrac{3}{2},
em \theta=\pi/2: -\tfrac{3}{2}\cdot(-1)+\pi+0=\pi+\tfrac{3}{2}.
A diferença é
\bigl(2\pi-\tfrac{3}{2}\bigr)-\bigl(\pi+\tfrac{3}{2}\bigr) =\pi-3.
Multiplicando pelo fator \tfrac{81}{4} obtemos
\iint_{D}(6xy+4x^2)\,dA =\frac{81}{4}\,(\pi-3).

Resposta

\frac{81}{4}\,(\pi-3).

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