Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} \operatorname{sen}\left(3 x^{2}+3 y^{2}\right) d A \operatorname{com} D a região entre x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=7.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D} \operatorname{sen}\bigl(3x^{2}+3y^{2}\bigr)\,dA
onde D é a coroa circular compreendida entre x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=7.
Conteúdo: integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
então
x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad dA = r\,dr\,d\theta,
e a região D vira
1\le r^{2}\le 7\quad\Longrightarrow\quad 1\le r\le \sqrt{7},\quad 0\le \theta\le 2\pi.
A integral fica
\iint_{D}\operatorname{sen}\bigl(3r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{\sqrt{7}}r\,\operatorname{sen}\bigl(3r^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos a parte radial
\int_{1}^{\sqrt{7}}r\,\operatorname{sen}\bigl(3r^{2}\bigr)\,dr.
Use u=3r^{2}\implies du=6r\,dr, logo r\,dr = \tfrac{du}{6}. Aí
\int r\,\operatorname{sen}(3r^{2})\,dr =\frac{1}{6}\int \operatorname{sen}(u)\,du =-\frac{1}{6}\cos(u)+C =-\frac{1}{6}\cos\bigl(3r^{2}\bigr)+C.
Avaliado de r=1 até r=\sqrt{7}
\left[-\tfrac{1}{6}\cos(3r^{2})\right]_{1}^{\sqrt7} =\frac{\cos(3)-\cos(21)}{6}.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(3)-\cos(21)}{6}\,d\theta =\frac{\cos(3)-\cos(21)}{6}\times 2\pi =\frac{\pi}{3}\bigl(\cos(3)-\cos(21)\bigr).

Resposta

\iint_{D}\operatorname{sen}\bigl(3x^{2}+3y^{2}\bigr)\,dA =\frac{\pi}{3}\bigl(\cos(3)-\cos(21)\bigr).

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