Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 4 x-2 y d A com D é a metade superior da região entre x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e} x^{2}+y^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\iint_{D}(4x-2y)\,dA
onde D é a metade superior da coroa circular definida por
2^2 \le x^2+y^2 \le 5^2,
ou seja, a região entre os círculos de raio 2 e 5 com y\ge0. Vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta.
O integrando fica
4x-2y = 4r\cos\theta - 2r\sin\theta,
logo o elemento de área ponderado é
(4r\cos\theta - 2r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta = \bigl(4r^2\cos\theta - 2r^2\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 3

Os limites em polares são
2 \le r \le 5, \quad 0 \le \theta \le \pi.
Assim a integral torna-se
\iint_{D}(4x-2y)\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=2}^{5} \bigl(4r^2\cos\theta - 2r^2\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro calculemos a integral em r:
\int_{r=2}^{5}r^2\,dr =\left.\frac{r^3}{3}\right|_{2}^{5} =\frac{125-8}{3} =\frac{117}{3} =39.
Logo
\int_{r=2}^{5}4r^2\cos\theta\,dr = 4\cdot39\cos\theta =156\cos\theta,
\int_{r=2}^{5}2r^2\sin\theta\,dr = 2\cdot39\sin\theta =78\sin\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\iint_{D}(4x-2y)\,dA = \int_{0}^{\pi}\bigl(156\cos\theta - 78\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Sabemos que
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = 0, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2.
Portanto
\int_{0}^{\pi}156\cos\theta\,d\theta =156\cdot0 =0, \quad \int_{0}^{\pi}78\sin\theta\,d\theta =78\cdot2 =156.
Assim
\iint_{D}(4x-2y)\,dA = 0 - 156 = -156.

Resposta

-156

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