Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 3 x y^{2}-2 d A com D o disco de raio unitário de centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{D}\bigl(3xy^{2}-2\bigr)\,dA
onde D é o disco de raio 1 centrado na origem.
O conteúdo aqui envolve integrais duplas em regiões simétricas e uso de coordenadas polares para a parte constante.

Passo 2

Vamos quebrar a integral em duas:
\iint_{D}3xy^{2}\,dA \;-\; \iint_{D}2\,dA.
Primeiro, observe que a função 3xy^{2} é ímpar em x (pois troca de x por -x muda o sinal) e o disco D é simétrico em relação ao eixo y. Pela propriedade de simetria,
\iint_{D}3xy^{2}\,dA = 0.

Passo 3

Agora calculamos
\iint_{D}2\,dA = 2 \iint_{D}1\,dA = 2\cdot\bigl(\text{área de }D\bigr).á
Em coordenadas polares, dA = r\,dr\,d\theta, r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi]. Logo,
\iint_{D}1\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1}d\theta = \int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\,d\theta = \pi.
Portanto,
\iint_{D}2\,dA = 2\pi.

Passo 4

Juntando as duas partes:
\iint_{D}(3xy^{2}-2)\,dA = 0 - 2\pi = -2\pi.

Resposta

-2\pi

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