Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
com
o disco de raio unitário de centro na origem.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
onde
é o disco de raio
centrado na origem.
O conteúdo aqui envolve integrais duplas em regiões simétricas e uso de coordenadas polares para a parte constante.
O conteúdo aqui envolve integrais duplas em regiões simétricas e uso de coordenadas polares para a parte constante.
Passo 2
Vamos quebrar a integral em duas:
Primeiro, observe que a função
é ímpar em
(pois troca de
por
muda o sinal) e o disco
é simétrico em relação ao eixo
. Pela propriedade de simetria,
Passo 3
Agora calculamos
Em coordenadas polares,
,
,
. Logo,
Portanto,
Passo 4
Juntando as duas partes: