Calcule
, onde
é a regiāo do segundo quadrante entre os discos de raio 3 e raio 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que está no segundo quadrante e entre dois discos com raios 3 e 4. Vamos usar cálculo em coordenadas polares para facilitar, já que a região envolve círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a relação entre as coordenadas cartesianas
e polares
é dada por:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 3
Como a região
está no segundo quadrante, o ângulo
varia de
a
, ou em radianos, de
a
.
Passo 4
Os raios dos discos são 3 e 4, então o raio
varia de 3 a 4. Assim, temos os limites de integração para
.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares. Sabemos que
, então a função fica
.
Passo 6
Com tudo isso, nossa integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 8
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 9
Simplificando, temos:
Resposta
A integral dupla vale
.