Calcule integral duplaD cos (x^2+y^2) d A, onde D é a regiāo do segundo quadrante entre os discos de raio 3 e raio 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que está no segundo quadrante e entre dois discos com raios 3 e 4. Vamos usar cálculo em coordenadas polares para facilitar, já que a região envolve círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a relação entre as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta e polares é dada por:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 3

Como a região está no segundo quadrante, o ângulo varia de a , ou em radianos, de a .

Passo 4

Os raios dos discos são 3 e 4, então o raio varia de 3 a 4. Assim, temos os limites de integração para .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Sabemos que , então a função fica .

Passo 6

Com tudo isso, nossa integral dupla fica:
integral duplaD cos(x^2 + y^2) , dA = integralpi2^pi integral3^4 cos(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral3^4 cos(r^2) cdot r , dr :
12 integral9^16 cos(u) , du = 12 [sin(u)]9^16 = 12 (sin(16) - sin(9))
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integralpi2^pi 12 (sin(16) - sin(9)) , dtheta = 12 (sin(16) - sin(9)) cdot ( pi - pi2 ) = 12 (sin(16) - sin(9)) cdot pi2

Passo 9

Simplificando, temos:
pi4 (sin(16) - sin(9))

Resposta

A integral dupla vale .

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