Calcule
, onde
.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
.
Conteúdo da matéria: Integrais duplas em coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Conhecimentos sobre coordenadas polares.
- Mudança de variáveis para simplificar a região de integração.
- Propriedades das funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
descreve uma faixa entre dois círculos concêntricos com raios
e
. A condição
define uma área abaixo do eixo
e acima da reta
.
Teoria Aplicada: Em coordenadas polares,
e
. A equação
simplifica a descrição de círculos.
Passo 3
Vamos converter a região
para coordenadas polares. As condições ficam:
Vamos resolver a desigualdade
para encontrar os limites de
.
Teoria Aplicada: Resolver desigualdades trigonométricas para determinar os limites angulares em coordenadas polares.
Passo 4
Resolvendo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá que
, ou seja,
Considerando que
, isso restringe
para
Passo 5
Agora, expressamos a função a ser integrada em coordenadas polares:
Teoria Aplicada: Propriedades das funções trigonométricas inversas.
Passo 6
A integral dupla em coordenadas polares fica:
Com os limites:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.