Calcule a integral e esboce o domínio de integração D.
\int_{0}^{1} \int_{y-1}^{0} e^{x+y} d x d y+\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} e^{x+y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e esboçar o domínio de integração D. As informações dadas são duas integrais iteradas que somadas representam a integral dupla de e^{x+y} sobre um mesmo conjunto de pontos:
\int_{0}^{1}\int_{y-1}^{0} e^{x+y}\,dx\,dy \quad+\quad \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} e^{x+y}\,dx\,dy.
As faixas de integração fornecidas são:
  • para ambas, y varia em [0,1];
  • para cada y, x varia primeiro de x=y-1 até x=0 e depois de x=0 até x=1-y.

Passo 2

Unificar as duas integrais em uma única integral dupla sobre D. Como para cada y\in[0,1] os intervalos em x são [y-1,0] e [0,1-y], eles se juntam formando o intervalo contínuo [y-1,\,1-y]. Logo a soma é igual a
\int_{0}^{1}\int_{y-1}^{1-y} e^{x+y}\,dx\,dy.
Isso significa que o domínio de integração é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y-1\le x\le 1-y\}.

Passo 3

Preparar a integração. Observação útil: a função exponencial separa em produto:
e^{x+y}=e^{x}e^{y}.
Ao integrar em x com y fixo, e^{y} é constante em relação a x. Então a integral interna será
\int_{y-1}^{1-y} e^{x+y}\,dx = e^{y}\int_{y-1}^{1-y} e^{x}\,dx.
A primitiva de e^{x} é e^{x}. Vou calcular cuidadosamente os limites.

Passo 4

Calcular a integral interna passo a passo:
\int_{y-1}^{1-y} e^{x+y}\,dx = e^{y}\left[e^{x}\right]_{x=y-1}^{x=1-y} = e^{y}\bigl(e^{1-y}-e^{y-1}\bigr).
Agora simplificar os termos:
e^{y}e^{1-y}=e^{1},\qquad e^{y}e^{y-1}=e^{2y-1}.
Portanto a integral interna fica
e^{1}-e^{2y-1}.

Passo 5

Calcular a integral externa em y:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{1}-e^{2y-1}\bigr)\,dy = e\int_{0}^{1}1\,dy - \int_{0}^{1} e^{2y-1}\,dy.
A primeira parte é e\cdot 1=e. Para a segunda parte, a primitiva de e^{2y-1} é \tfrac{1}{2}e^{2y-1}. Assim
\int_{0}^{1} e^{2y-1}\,dy = \left[\tfrac{1}{2}e^{2y-1}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{-1}\bigr).

Passo 6

Substituir e simplificar:
\int_{0}^{1}\int_{y-1}^{1-y} e^{x+y}\,dx\,dy = e - \tfrac{1}{2}\bigl(e - e^{-1}\bigr) = \tfrac{1}{2}e + \tfrac{1}{2}e^{-1}.
Uma forma alternativa e elegante é reconhecer que este resultado é precisamente \operatorname{cosh}(1), pois
\operatorname{cosh}(1)=\tfrac{e^{1}+e^{-1}}{2}.

Passo 7

Descrever e esboçar geometricamente o domínio D. A fronteira de D é dada pelas retas x=y-1 e x=1-y, com y entre 0 e 1.
  • Em y=0 obtemos x\in[-1,1] (base do triângulo).
  • Em y=1 obtemos x=0 (pico do triângulo).
    Portanto D é o triângulo isósceles com vértices em (-1,0), (1,0) e (0,1). Para esboçar: marcar esses três pontos no plano, ligar (-1,0) a (0,1) (reta x=y-1), e (1,0) a (0,1) (reta x=1-y); a base é o segmento de (-1,0) a (1,0).

Resposta

\dfrac{e+e^{-1}}{2}
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;y-1\le x\le 1-y\} (triângulo com vértices (-1,0),(1,0),(0,1))

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