Calcule a integral e esboce o domínio de integração
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e esboçar o domínio de integração
. As informações dadas são duas integrais iteradas que somadas representam a integral dupla de
sobre um mesmo conjunto de pontos:
As faixas de integração fornecidas são:
- para ambas,
varia em ; - para cada
, varia primeiro de até e depois de até .
Passo 2
Unificar as duas integrais em uma única integral dupla sobre
. Como para cada
os intervalos em
são
e
, eles se juntam formando o intervalo contínuo
. Logo a soma é igual a
Isso significa que o domínio de integração é
Passo 3
Preparar a integração. Observação útil: a função exponencial separa em produto:
Ao integrar em
com
fixo,
é constante em relação a
. Então a integral interna será
A primitiva de
é
. Vou calcular cuidadosamente os limites.
Passo 4
Calcular a integral interna passo a passo:
Agora simplificar os termos:
Portanto a integral interna fica
Passo 5
Calcular a integral externa em
:
A primeira parte é
. Para a segunda parte, a primitiva de
é
. Assim
Passo 6
Substituir e simplificar:
Uma forma alternativa e elegante é reconhecer que este resultado é precisamente
, pois
Passo 7
Descrever e esboçar geometricamente o domínio
. A fronteira de
é dada pelas retas
e
, com
entre
e
.
- Em
obtemos (base do triângulo). - Em
obtemos (pico do triângulo).
Portantoé o triângulo isósceles com vértices em , e . Para esboçar: marcar esses três pontos no plano, ligar a (reta ), e a (reta ); a base é o segmento de a .