Determine os limites de integração e calcule a integral utilizando a ordem mais conveniente.
, onde
é a região limitada por
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar os limites de integração da integral dupla e calculá‑la, usando a ordem mais conveniente. As informações dadas são:
- A região
é limitada pelas curvas e . - A integral a calcular é
.
Não há outras figuras ou dados; portanto a solução exige encontrar onde as curvas se intersectam, descrevercom limites explícitos e avaliar a integral.
Passo 2
Encontrar as interseções das curvas para saber o intervalo em
.
Resolver :
Resolver
Os pontos de interseção são, então,
e
, pois
e
.
Passo 3
Determinar qual curva é a superior (maior
) para
entre as interseções.
Calcular a diferença
Calcular a diferença
Para
tem‑se
, logo
. Portanto, no intervalo de
entre
e
, a parábola
está acima da reta
. Assim uma descrição conveniente de
é:
Passo 4
Escolher a ordem de integração e montar a integral iterada.
É conveniente integrar primeiro em , porque
é constante em relação a
. Assim
É conveniente integrar primeiro em
Explicar a técnica: ao integrar em
tratamos
como constante; a linearidade permite puxá‑la para fora da integral em
.
Calcular a integral interna (em
):
Agora integrar
:
portanto
Passo 5
Simplificar a expressão quadrática:
Calcular . Expandindo:
Calcular
Subtraindo:
Portanto a integral em
fica
Passo 6
Reduzir a integral a integrais conhecidas e provar a fórmula útil.
Vamos separar em termos:
Vamos separar em termos:
Usaremos a identidade, válida para inteiro
:
Prova (integração por partes): defina
. Colocar
e
dá
e
. Então
O termo de fronteira é zero porque em
tem
e em
tem
. Assim
Passo 7
Aplicar a fórmula aos termos e somar.
Usando :
Usando
- Para
: aqui , então vale . - Para
: aqui , então vale . - Para
: aqui , então vale .
Somando os três resultados:
Passo 8
Observação sobre a singularidade em
: a integranda original contém
que diverge em
, então a integral é imprópria. A forma que obtivemos reduz a avaliação a integrais do tipo
, que são finitas; portanto a integral dupla converge e o cálculo acima é válido. Parabéns — apesar do pedaço assustador
em
, tudo fica bem comportado.