Determine os limites de integração e calcule a integral utilizando a ordem mais conveniente.
\iint_{D}-2 y \ln (x) d A, onde D é a região limitada por y=4-x^{2} e y=4-x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar os limites de integração da integral dupla e calculá‑la, usando a ordem mais conveniente. As informações dadas são:
  • A região D é limitada pelas curvas \,y=4-x^{2}\, e \,y=4-x\,.
  • A integral a calcular é \displaystyle \iint_{D}-2 y \ln(x)\,dA.
    Não há outras figuras ou dados; portanto a solução exige encontrar onde as curvas se intersectam, descrever D com limites explícitos e avaliar a integral.

Passo 2

Encontrar as interseções das curvas para saber o intervalo em x.
Resolver \,4-x^{2}=4-x\,:
4-x^{2}=4-x \quad\Longrightarrow\quad -x^{2}=-x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=x
\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \text{ ou } x=1.
Os pontos de interseção são, então, \,(0,4) e \,(1,3), pois \,y(0)=4\, e \,y(1)=3.

Passo 3

Determinar qual curva é a superior (maior y) para x entre as interseções.
Calcular a diferença
(4-x^{2})-(4-x)=x-x^{2}=x(1-x).
Para 0\le x\le1 tem‑se x(1-x)\ge0, logo \,4-x^{2}\ge 4-x. Portanto, no intervalo de x entre 0 e 1, a parábola \,y=4-x^{2}\, está acima da reta \,y=4-x. Assim uma descrição conveniente de D é:
0\le x\le1,\qquad 4-x \le y \le 4-x^{2}.

Passo 4

Escolher a ordem de integração e montar a integral iterada.
É conveniente integrar primeiro em y, porque \ln(x) é constante em relação a y. Assim
\iint_{D}-2 y \ln(x)\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=4-x}^{\,4-x^{2}} -2 y \ln(x)\,dy\right)dx.
Explicar a técnica: ao integrar em y tratamos \ln(x) como constante; a linearidade permite puxá‑la para fora da integral em y.
Calcular a integral interna (em y):
\int_{y=4-x}^{\,4-x^{2}} -2 y \ln(x)\,dy = -2\ln(x)\int_{y=4-x}^{\,4-x^{2}} y\,dy.
Agora integrar y:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},
portanto
-2\ln(x)\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=4-x}^{\,4-x^{2}} = -\ln(x)\left[(4-x^{2})^{2}-(4-x)^{2}\right].

Passo 5

Simplificar a expressão quadrática:
Calcular (4-x^{2})^{2}-(4-x)^{2}. Expandindo:
(4-x^{2})^{2}=16-8x^{2}+x^{4},
(4-x)^{2}=16-8x+x^{2}.
Subtraindo:
(4-x^{2})^{2}-(4-x)^{2}=(16-8x^{2}+x^{4})-(16-8x+x^{2})=8x-9x^{2}+x^{4}.
Portanto a integral em x fica
\int_{0}^{1} -\ln(x)\bigl(8x-9x^{2}+x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 6

Reduzir a integral a integrais conhecidas e provar a fórmula útil.
Vamos separar em termos:
\int_{0}^{1} -\ln(x)\bigl(8x-9x^{2}+x^{4}\bigr)\,dx =8\int_{0}^{1} -\ln(x)\,x\,dx \;-\;9\int_{0}^{1} -\ln(x)\,x^{2}\,dx \;+\;\int_{0}^{1} -\ln(x)\,x^{4}\,dx.
Usaremos a identidade, válida para inteiro n\ge0:
\int_{0}^{1} -\ln(x)\,x^{n}\,dx=\frac{1}{(n+1)^{2}}.
Prova (integração por partes): defina I_{n}=\int_{0}^{1}-\ln(x)\,x^{n}\,dx. Colocar u=-\ln(x) e dv=x^{n}dx du=-\dfrac{1}{x}dx e v=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Então
I_{n}=\left[-\ln(x)\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)dx.
O termo de fronteira é zero porque em x=1 tem \ln(1)=0 e em x\to0^{+} tem x^{n+1}\ln(x)\to0. Assim
I_{n}=\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n}dx=\frac{1}{n+1}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}.

Passo 7

Aplicar a fórmula aos termos e somar.
Usando \int_{0}^{1}-\ln(x)\,x^{n}dx=\dfrac{1}{(n+1)^{2}}:
  • Para 8\int_{0}^{1}-\ln(x)\,x\,dx: aqui n=1, então vale 8\cdot\dfrac{1}{(1+1)^{2}}=8\cdot\dfrac{1}{4}=2.
  • Para -9\int_{0}^{1}-\ln(x)\,x^{2}dx: aqui n=2, então vale -9\cdot\dfrac{1}{(2+1)^{2}}=-9\cdot\dfrac{1}{9}=-1.
  • Para \int_{0}^{1}-\ln(x)\,x^{4}dx: aqui n=4, então vale \dfrac{1}{(4+1)^{2}}=\dfrac{1}{25}.
Somando os três resultados:
2 + (-1) + \frac{1}{25} = 1 + \frac{1}{25} = \frac{26}{25}.

Passo 8

Observação sobre a singularidade em x=0: a integranda original contém \ln(x) que diverge em 0^{+}, então a integral é imprópria. A forma que obtivemos reduz a avaliação a integrais do tipo \int_{0}^{1}-\ln(x)\,x^{n}dx, que são finitas; portanto a integral dupla converge e o cálculo acima é válido. Parabéns — apesar do pedaço assustador \ln(x) em 0, tudo fica bem comportado.

Resposta

\dfrac{26}{25}

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