Calcule a integral, se ela existir. \int_{0}^{4} \sqrt{t} \ln t d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{4} \sqrt{t}\,\ln t\,dt.
Informações relevantes que o enunciado dá:
O integrando é \sqrt{t}\,\ln t.
O intervalo de integração é [0,4].
Observação importante: \ln t tende a -\infty quando t\to0^+, então a integral é imprópria no limite inferior t=0. Precisamos tratar a integral como um limite
e verificar que esse limite existe (converge) e calcular o seu valor.
Passo 2
Escolha do método: como o integrando é produto de uma função logarítmica \ln t (que simplifica ao derivar) por uma função potência \sqrt{t}=t^{1/2} (que é fácil de integrar), o método mais simples é integrar por partes. Vou usar a fórmula de integração por partes para integrais definidas — que é a versão do teorema de partes para integrais impróprias quando aplicável.
A fórmula de integração por partes (definida em termos de duas funções u e v) é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos
u=\ln t,\qquad dv = t^{1/2}\,dt.
Motivo: ao derivar u=\ln t obtemos du=\dfrac{dt}{t}, que é mais simples; e dv=t^{1/2}dt é fácil de integrar para obter v.
Passo 3
Calcular v e du.
Derivada de u:
du = \frac{dt}{t}.
Antiderivada de dv:
v=\int t^{1/2}\,dt.
Para integrar t^{1/2} usamos a regra da potência: \int t^{\alpha}\,dt = \dfrac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} quando \alpha\neq-1.
Aqui \alpha=\tfrac12, então
v=\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}\,t^{3/2}.
Passo 4
Aplicar integração por partes na integral truncada \int_{\varepsilon}^{4} e depois tomar limite \varepsilon\to0^+.
Avaliar os termos limite e justificar a convergência.
Calcule 4^{3/2}: \sqrt{4}=2 e 2^{3}=8, logo 4^{3/2}=8. Assim o termo em t=4 é
\frac{2}{3}\cdot 8\ln 4 = \frac{16}{3}\ln 4.
Falta tratar o termo no limite inferior \displaystyle \lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon^{3/2}\ln\varepsilon. Mostramos que esse limite é 0. Uma maneira simples e intuitiva: faça a substituição \varepsilon=e^{-u} com u\to+\infty quando \varepsilon\to0^+. Então