Calcule a integral, se ela existir.
\int_{0}^{4} \sqrt{t} \ln t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{4} \sqrt{t}\,\ln t\,dt.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O integrando é \sqrt{t}\,\ln t.
  • O intervalo de integração é [0,4].
  • Observação importante: \ln t tende a -\infty quando t\to0^+, então a integral é imprópria no limite inferior t=0. Precisamos tratar a integral como um limite
\int_{0}^{4} \sqrt{t}\,\ln t\,dt = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{4} \sqrt{t}\,\ln t\,dt,
e verificar que esse limite existe (converge) e calcular o seu valor.

Passo 2

Escolha do método: como o integrando é produto de uma função logarítmica \ln t (que simplifica ao derivar) por uma função potência \sqrt{t}=t^{1/2} (que é fácil de integrar), o método mais simples é integrar por partes. Vou usar a fórmula de integração por partes para integrais definidas — que é a versão do teorema de partes para integrais impróprias quando aplicável.
A fórmula de integração por partes (definida em termos de duas funções u e v) é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos
u=\ln t,\qquad dv = t^{1/2}\,dt.
Motivo: ao derivar u=\ln t obtemos du=\dfrac{dt}{t}, que é mais simples; e dv=t^{1/2}dt é fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Calcular v e du.
Derivada de u:
du = \frac{dt}{t}.
Antiderivada de dv:
v=\int t^{1/2}\,dt.
Para integrar t^{1/2} usamos a regra da potência: \int t^{\alpha}\,dt = \dfrac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} quando \alpha\neq-1.
Aqui \alpha=\tfrac12, então
v=\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}\,t^{3/2}.

Passo 4

Aplicar integração por partes na integral truncada \int_{\varepsilon}^{4} e depois tomar limite \varepsilon\to0^+.
Começamos com
I(\varepsilon)=\int_{\varepsilon}^{4} t^{1/2}\ln t\,dt.
Pela fórmula de partes,
I(\varepsilon)=\left.\frac{2}{3}t^{3/2}\ln t\right|_{t=\varepsilon}^{t=4}-\int_{\varepsilon}^{4}\frac{2}{3}t^{3/2}\cdot\frac{1}{t}\,dt.
Simplificando o integrando da segunda integral:
\frac{2}{3}t^{3/2}\cdot\frac{1}{t}=\frac{2}{3}t^{1/2}.
Portanto
I(\varepsilon)=\frac{2}{3}\,4^{3/2}\ln 4 - \frac{2}{3}\,\varepsilon^{3/2}\ln \varepsilon - \frac{2}{3}\int_{\varepsilon}^{4} t^{1/2}\,dt.

Passo 5

Avaliar os termos limite e justificar a convergência.
Calcule 4^{3/2}: \sqrt{4}=2 e 2^{3}=8, logo 4^{3/2}=8. Assim o termo em t=4 é
\frac{2}{3}\cdot 8\ln 4 = \frac{16}{3}\ln 4.
Falta tratar o termo no limite inferior \displaystyle \lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon^{3/2}\ln\varepsilon. Mostramos que esse limite é 0. Uma maneira simples e intuitiva: faça a substituição \varepsilon=e^{-u} com u\to+\infty quando \varepsilon\to0^+. Então
\varepsilon^{3/2}\ln\varepsilon = (e^{-u})^{3/2}\cdot(-u) = -u\,e^{-3u/2}.
Como exponencial decai muito mais rápido que qualquer potência, u\,e^{-3u/2}\to0 quando u\to+\infty. Portanto
\lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon^{3/2}\ln\varepsilon = 0.
Isso mostra também que a integral imprópria converge (o termo singular em \ln t é dominado por t^{3/2} que anula a divergência).

Passo 6

Calcular a integral restante e obter o valor final.
Temos, passando ao limite \varepsilon\to0^+,
I=\lim_{\varepsilon\to0^+}I(\varepsilon)=\frac{16}{3}\ln 4 - \frac{2}{3}\int_{0}^{4} t^{1/2}\,dt.
Agora calcule a integral de t^{1/2}:
\int_{0}^{4} t^{1/2}\,dt = \left.\frac{2}{3}t^{3/2}\right|_{0}^{4} = \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} - 0 = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{3} que está na expressão de I,
\frac{2}{3}\int_{0}^{4} t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{9}.
Portanto
I = \frac{16}{3}\ln 4 - \frac{32}{9}.
Podemos simplificar usando \ln 4 = \ln(2^2)=2\ln 2:
I = \frac{16}{3}\cdot 2\ln 2 - \frac{32}{9} = \frac{32}{3}\ln 2 - \frac{32}{9}.
Fatorando 32/9:
I = \frac{32}{9}\bigl(3\ln 2 - 1\bigr).

Resposta

\dfrac{32}{9}\bigl(3\ln 2 - 1\bigr)

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