Calcule a integral da função f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} sobre a superfície parametrizada por \vec{X}(r, \theta):(0,1) \times(0,2 \pi) \rightarrow S, dada por \vec{X}(r, \theta)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta), \theta).
Esta superfície é conhecida como helicoide, e a função está definida no disco unitário
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.
Resposta: \frac{8 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função
f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}
sobre a superfície helicoidal S parametrizada por
\vec X(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\theta\bigr),
com (r,\theta)\in(0,1)\times(0,2\pi).
Para resolver, vamos usar a fórmula da integral de superfície
\iint_{S}f(x,y)\,dS \;=\;\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} f\bigl(\vec X(r,\theta)\bigr)\,\bigl\lvert \vec X_{r}\times\vec X_{\theta}\bigr\rvert\,dr\,d\theta,
onde \vec X_{r} e \vec X_{\theta} são as derivadas parciais de \vec X.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\vec X_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;0), \quad \vec X_{\theta}=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;1).

Passo 3

Fazer o produto vetorial
\vec X_{r}\times\vec X_{\theta} =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \cos\theta & \sin\theta & 0\\\\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 1 \end{vmatrix} =(\sin\theta,\,-\cos\theta,\;r).
A norma desse vetor é
\bigl\lvert\vec X_{r}\times\vec X_{\theta}\bigr\rvert =\sqrt{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta+r^{2}} =\sqrt{1+r^{2}}.

Passo 4

Substituir na integral de superfície. Como f\bigl(\vec X(r,\theta)\bigr) =\sqrt{1-(r\cos\theta)^{2}-(r\sin\theta)^{2}} =\sqrt{1-r^{2}}, temos
\iint_{S}f\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^{2}}\;\sqrt{1+r^{2}}\;dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^{4}}\;dr\,d\theta.

Passo 5

Como o integrando não depende de \theta, extraímos 2\pi:
\iint_{S}f\,dS =2\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^{4}}\;dr.

Passo 6

Para fechar em forma explícita, usamos a função Beta/Gamma:
\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^{4}}\;dr =\frac{1}{4}\;B\!\bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr) =\frac{\sqrt\pi\,\Gamma\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)}{2\,\Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)}.
Portanto
\iint_{S}f\,dS =2\pi\;\frac{\sqrt\pi\,\Gamma\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)}{2\,\Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)} =\pi^{3/2}\,\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)}.

Resposta

\boxed{ \iint_{S}\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\;dS =2\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^{4}}\;dr =\pi^{3/2}\,\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)} }.

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