Calcule a transformada de Laplace de f(t)=t e^{-a t}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace de f(t)=t e^{-a t}. Vamos usar a definição de transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-s t}\,dt.

Passo 2

Substituindo f(t)=t e^{-a t} na definição, obtemos
\mathcal{L}\{t e^{-a t}\} =\int_{0}^{\infty}t e^{-a t}e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}t e^{-(s+a)t}\,dt.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty}t e^{-(s+a)t}\,dt usamos integração por partes. Escolhemos
u=t,\quad dv=e^{-(s+a)t}\,dt,
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du=dt,\quad v=-\frac{1}{s+a}e^{-(s+a)t}.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty}t e^{-(s+a)t}\,dt =\Bigl.-\frac{t}{s+a}e^{-(s+a)t}\Bigr|_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s+a}e^{-(s+a)t}\,dt.
Veja que o termo \bigl.t e^{-(s+a)t}\bigr|_{t\to\infty} tende a zero se \Re(s+a)>0, e em t=0 vale zero. O segundo integral é
\frac{1}{s+a}\int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}\,dt =\frac{1}{s+a}\cdot\frac{1}{s+a} =\frac{1}{(s+a)^{2}}.

Passo 5

Concluímos que
\mathcal{L}\{t e^{-a t}\}=\frac{1}{(s+a)^{2}},
com região de convergência dada por \Re(s+a)>0, isto é, \Re(s)>-\Re(a).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(s+a)^{2}}

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