Calcule a integral \iint_{R} 6 x-3 y d A, onde R é o paralelogramo de vértices (2,0),(5,3),(6,7) e (3,4) usando a transformação x=\frac{1}{3}(v-u), y=\frac{1}{3}(4 v-u) em R.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} 6x-3y \, dA,
onde R é o paralelogramo com vértices (2,0),(5,3),(6,7),(3,4), usando a transformação
x=\frac{1}{3}(v-u),\qquad y=\frac{1}{3}(4v-u).
Informações relevantes dadas:
A função integranda é 6x-3y.
A transformação do plano (u,v) para o plano (x,y) é x=(v-u)/3,\;y=(4v-u)/3.
Os vértices de R no plano (x,y) são (2,0),(5,3),(6,7),(3,4).
A partir daqui vamos transformar a região R para uma região simples no plano (u,v), calcular o Jacobiano, reescrever a integranda em (u,v) e avaliar a integral.
Passo 2
Primeiro precisamos da transformação inversa (x,y)\mapsto(u,v) para localizar a imagem dos vértices e obter os limites em u,v. Partimos do sistema (multiplicando por 3)
3x = v-u,\qquad 3y = 4v-u.
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
3y-3x = (4v-u)-(v-u)=3v \quad\Rightarrow\quad v = y-x.
Substituindo v em 3x=v-u temos
3x = (y-x)-u \quad\Rightarrow\quad u = y-4x.
Logo a inversa é
u = y-4x,\qquad v = y-x.
Explicação rápida do porquê: a inversa nos permite mapear cada vértice (x,y) para coordenadas (u,v), e assim descobrir a região simples em (u,v).
Passo 3
Aplicamos a inversa aos vértices dados (aqui usei explicitamente as coordenadas dos vértices do enunciado):
Para (2,0): u = 0-4\cdot 2 = -8,\; v = 0-2 = -2. Resultado: (-8,-2).
Para (5,3): u = 3-4\cdot 5 = -17,\; v = 3-5 = -2. Resultado: (-17,-2).
Para (6,7): u = 7-4\cdot 6 = -17,\; v = 7-6 = 1. Resultado: (-17,1).
Para (3,4): u = 4-4\cdot 3 = -8,\; v = 4-3 = 1. Resultado: (-8,1).
Observando esses pontos no plano (u,v), a região imagem é o retângulo com
-17 \le u \le -8,\qquad -2 \le v \le 1.
Portanto a transformação leva o paralelogramo R para um retângulo simples em (u,v) com esses limites — isso facilita muito a integração.
Passo 4
Agora calculamos o Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). Definindo