Calcule a integral \iint_{R} 6 x-3 y d A, onde R é o paralelogramo de vértices (2,0),(5,3),(6,7) e (3,4) usando a transformação x=\frac{1}{3}(v-u), y=\frac{1}{3}(4 v-u) em R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} 6x-3y \, dA,
onde R é o paralelogramo com vértices (2,0),(5,3),(6,7),(3,4), usando a transformação
x=\frac{1}{3}(v-u),\qquad y=\frac{1}{3}(4v-u).
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é 6x-3y.
  • A transformação do plano (u,v) para o plano (x,y) é x=(v-u)/3,\;y=(4v-u)/3.
  • Os vértices de R no plano (x,y) são (2,0),(5,3),(6,7),(3,4).
    A partir daqui vamos transformar a região R para uma região simples no plano (u,v), calcular o Jacobiano, reescrever a integranda em (u,v) e avaliar a integral.

Passo 2

Primeiro precisamos da transformação inversa (x,y)\mapsto(u,v) para localizar a imagem dos vértices e obter os limites em u,v. Partimos do sistema (multiplicando por 3)
3x = v-u,\qquad 3y = 4v-u.
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
3y-3x = (4v-u)-(v-u)=3v \quad\Rightarrow\quad v = y-x.
Substituindo v em 3x=v-u temos
3x = (y-x)-u \quad\Rightarrow\quad u = y-4x.
Logo a inversa é
u = y-4x,\qquad v = y-x.
Explicação rápida do porquê: a inversa nos permite mapear cada vértice (x,y) para coordenadas (u,v), e assim descobrir a região simples em (u,v).

Passo 3

Aplicamos a inversa aos vértices dados (aqui usei explicitamente as coordenadas dos vértices do enunciado):
  • Para (2,0): u = 0-4\cdot 2 = -8,\; v = 0-2 = -2. Resultado: (-8,-2).
  • Para (5,3): u = 3-4\cdot 5 = -17,\; v = 3-5 = -2. Resultado: (-17,-2).
  • Para (6,7): u = 7-4\cdot 6 = -17,\; v = 7-6 = 1. Resultado: (-17,1).
  • Para (3,4): u = 4-4\cdot 3 = -8,\; v = 4-3 = 1. Resultado: (-8,1).
Observando esses pontos no plano (u,v), a região imagem é o retângulo com
-17 \le u \le -8,\qquad -2 \le v \le 1.
Portanto a transformação leva o paralelogramo R para um retângulo simples em (u,v) com esses limites — isso facilita muito a integração.

Passo 4

Agora calculamos o Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). Definindo
x(u,v)=\frac{v-u}{3},\qquad y(u,v)=\frac{4v-u}{3},
o Jacobiano é a matriz das derivadas parciais
D(x,y)/D(u,v)= \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
O determinante é
\det = \left(-\tfrac{1}{3}\right)\left(\tfrac{4}{3}\right) - \left(\tfrac{1}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{3}\right) = -\tfrac{4}{9} + \tfrac{1}{9} = -\tfrac{3}{9} = -\tfrac{1}{3}.
Na fórmula de substituição usamos o valor absoluto para o fator de escala da área, então
\left| \det\right| = \tfrac{1}{3}.
Explicação: o Jacobiano mede como pequenas áreas em (u,v) são escaladas ao serem mapeadas para (x,y); por isso multiplicamos a integranda por |\det|.]

Passo 5

Reescrevemos a integranda 6x-3y em termos de u,v. Usando as fórmulas
x=\frac{v-u}{3},\qquad y=\frac{4v-u}{3},
temos
6x = 6\cdot\frac{v-u}{3} = 2(v-u) = 2v-2u,
3y = 3\cdot\frac{4v-u}{3} = 4v-u.
Portanto
6x-3y = (2v-2u)-(4v-u) = -2v - u = -(u+2v).
Explicação: trocamos x,y pelas expressões em u,v e simplificamos termos semelhantes.

Passo 6

Montamos a integral transformada sobre o retângulo em (u,v), incluindo o fator |\det|=\tfrac{1}{3}:
\iint_{R} 6x-3y \, dA = \iint_{S} \bigl(-u-2v\bigr)\cdot \tfrac{1}{3}\, du\,dv,
onde S=\{(u,v)\mid -17\le u\le -8,\\\ -2\le v\le 1\}. Assim
\iint_{R} 6x-3y \, dA = \tfrac{1}{3}\int_{u=-17}^{-8}\int_{v=-2}^{1} \bigl(-u-2v\bigr)\, dv\, du.

Passo 7

Calculamos primeiro a integral interna em v:
\int_{v=-2}^{1} (-u-2v)\, dv = \int_{-2}^{1} (-u)\,dv + \int_{-2}^{1} (-2v)\,dv.
Como -u é constante em v,
\int_{-2}^{1} (-u)\,dv = -u\cdot (1-(-2)) = -u\cdot 3 = -3u.
Para a segunda parte,
\int_{-2}^{1} (-2v)\,dv = -\bigl[v^2\bigr]_{-2}^{1} = -(1^2 - (-2)^2) = -(1-4)=3.
Somando,
\int_{-2}^{1} (-u-2v)\, dv = -3u + 3.

Passo 8

Agora integramos em u e aplicamos o fator \tfrac{1}{3}:
\tfrac{1}{3}\int_{u=-17}^{-8} (-3u+3)\, du = \tfrac{1}{3}\left[ -3\cdot\frac{u^2}{2} + 3u \right]_{-17}^{-8}.
Calculamos a expressão primitiva em termos exatos em frações:
\Bigl(-\tfrac{3}{2}u^2+3u\Bigr)\Big|_{-17}^{-8} = \left(-\tfrac{3}{2}\cdot (-8)^2 + 3(-8)\right) - \left(-\tfrac{3}{2}\cdot (-17)^2 + 3(-17)\right).
Compute cada termo em frações:
-\tfrac{3}{2}\cdot 64 + (-24) = -96 -24 = -120 = -\tfrac{240}{2},
-\tfrac{3}{2}\cdot 289 + (-51) = -\tfrac{867}{2} - \tfrac{102}{2} = -\tfrac{969}{2}.
A diferença é
-\tfrac{240}{2} - \left(-\tfrac{969}{2}\right) = \tfrac{729}{2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} obtemos
\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{729}{2} = \tfrac{729}{6} = \tfrac{243}{2}.

Resposta

\tfrac{243}{2}

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