Se
é a região interna da curva
, determine a região que obteríamos aplicando a transformação
em
.
Passo 1
O enunciado dá que
é a região interna da curva
ou seja,
é o conjunto de pontos
tais que
Também é dada a transformação linear
A pergunta é: qual é a região no plano
que se obtém ao aplicar essa transformação aos pontos de
? Em outras palavras: quais são os pontos
correspondentes aos pontos
?
Passo 2
Vou escrever explicitamente o que significa aplicar a transformação: cada ponto
no plano
é enviado para o ponto
do plano
dado por
Também é útil perceber que a transformação é invertível, com inversa dada por
Isto garante que descrever a imagem de
no plano
é equivalente a substituir
e
em termos de
e
na equação da elipse.
Passo 3
Agora faço a substituição direta da transformação na equação da elipse. Pegando
e
e colocando na expressão da elipse:
Portanto a curva que era
passa a ser
Passo 4
Como
é a região interna da elipse, isto corresponde à desigualdade
Substituindo
e
nessa desigualdade obtemos
Logo todos os pontos
que correspondem a pontos de
são exatamente os que satisfazem essa desigualdade. A fronteira da elipse (
quando a igualdade vale) corresponde à circunferência unitária
, e o interior da elipse corresponde ao disco fechado de raio
.
Passo 5
Interpretação geométrica rápida e dica para prova: a transformação
é um alongamento escalares com fatores
na direção
e
na direção
. Aplicada à elipse descrita, ela “normaliza” as semirretas da elipse e transforma a elipse em um círculo unitário no plano
. Em geral, se tivéssemos
e a elipse
, a mesma substituição leva a
.