Se D é a região interna da curva \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1, determine a região que obteríamos aplicando a transformação x=2 u, y=6 v em D.

Passo 1

O enunciado dá que D é a região interna da curva
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1,
ou seja, D é o conjunto de pontos (x,y) tais que
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}\le 1.
Também é dada a transformação linear
x=2u,\qquad y=6v.
A pergunta é: qual é a região no plano (u,v) que se obtém ao aplicar essa transformação aos pontos de D? Em outras palavras: quais são os pontos (u,v) correspondentes aos pontos (x,y)\in D?

Passo 2

Vou escrever explicitamente o que significa aplicar a transformação: cada ponto (u,v) no plano (u,v) é enviado para o ponto (x,y) do plano (x,y) dado por
x=2u,\qquad y=6v.
Também é útil perceber que a transformação é invertível, com inversa dada por
u=\frac{x}{2},\qquad v=\frac{y}{6}.
Isto garante que descrever a imagem de D no plano (u,v) é equivalente a substituir x e y em termos de u e v na equação da elipse.

Passo 3

Agora faço a substituição direta da transformação na equação da elipse. Pegando x=2u e y=6v e colocando na expressão da elipse:
\frac{(2u)^{2}}{4}+\frac{(6v)^{2}}{36} = \frac{4u^{2}}{4}+\frac{36v^{2}}{36} = u^{2}+v^{2}.
Portanto a curva que era \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1 passa a ser
u^{2}+v^{2}=1.

Passo 4

Como D é a região interna da elipse, isto corresponde à desigualdade
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}\le 1.
Substituindo x=2u e y=6v nessa desigualdade obtemos
u^{2}+v^{2}\le 1.
Logo todos os pontos (u,v) que correspondem a pontos de D são exatamente os que satisfazem essa desigualdade. A fronteira da elipse ( = quando a igualdade vale) corresponde à circunferência unitária u^{2}+v^{2}=1, e o interior da elipse corresponde ao disco fechado de raio 1.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida e dica para prova: a transformação x=2u,\\ y=6v é um alongamento escalares com fatores 2 na direção u e 6 na direção v. Aplicada à elipse descrita, ela “normaliza” as semirretas da elipse e transforma a elipse em um círculo unitário no plano (u,v). Em geral, se tivéssemos x=au,\\ y=bv e a elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a mesma substituição leva a u^{2}+v^{2}=1.

Resposta

\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}

Exercícios relacionados