Calcule a integral indefinida:
∫2xsen4(x2−1)dx
∫2xsen4(x2−1)dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Dados fornecidos: o integrando é
, a variável de integração é
, e o objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja a função
tal que
. Queremos a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre estrutura do integrando (sem resolver ainda): há um fator
multiplicando uma função que depende de
. Quando vemos algo do tipo
junto com
, isso sugere a substituição
, porque a diferencial de
dá
. Agora aplicamos essa substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Fazendo a substituição:
então
Substituindo na integral original,
vira
e
vira
. Logo a integral torna-se
Agora o problema é calcular
.
Passo 4
Para integrar
usamos a identidade de redução de potência. Primeiro lembramos que
Como
, substituímos:
Agora usamos novamente a identidade para
:
Substituindo:
Passo 5
Integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
(usamos que
),
Somando e acrescentando a constante
,
Passo 6
Voltamos à variável
usando
. Substituindo
em cada termo obtemos a primitiva em
: