Calcule a integral indefinida:
∫2xsen4(x2−1)dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int 2x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx.
Dados fornecidos: o integrando é 2x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr), a variável de integração é x, e o objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja a função F(x) tal que F'(x)=2x\,\sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr). Queremos a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre estrutura do integrando (sem resolver ainda): há um fator 2x multiplicando uma função que depende de x^{2}-1. Quando vemos algo do tipo f(x^{2}-1) junto com 2x\,dx, isso sugere a substituição u=x^{2}-1, porque a diferencial de u du=2x\,dx. Agora aplicamos essa substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Fazendo a substituição:
u = x^{2}-1,
então
du = 2x\,dx.
Substituindo na integral original, 2x\,dx vira du e \sin^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr) vira \sin^{4}u. Logo a integral torna-se
\int \sin^{4}u\,du.
Agora o problema é calcular \int \sin^{4}u\,du.

Passo 4

Para integrar \sin^{4}u usamos a identidade de redução de potência. Primeiro lembramos que
\sin^{2}u = \frac{1-\cos 2u}{2}.
Como \sin^{4}u = (\sin^{2}u)^{2}, substituímos:
\sin^{4}u = \left(\frac{1-\cos 2u}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos 2u + \cos^{2}2u\bigr).
Agora usamos novamente a identidade para \cos^{2}2u:
\cos^{2}2u = \frac{1+\cos 4u}{2}.
Substituindo:
\sin^{4}u = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos 2u + \frac{1+\cos 4u}{2}\right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2u + \frac{1}{8}\cos 4u.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \sin^{4}u\,du = \int\left(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2u + \frac{1}{8}\cos 4u\right)du.
Calculando cada integral:
\int \frac{3}{8}\,du = \frac{3}{8}u,
\int -\frac{1}{2}\cos 2u\,du = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2u = -\frac{1}{4}\sin 2u
(usamos que \int \cos(au)\,du = \frac{1}{a}\sin(au)),
\int \frac{1}{8}\cos 4u\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin 4u = \frac{1}{32}\sin 4u.
Somando e acrescentando a constante C,
\int \sin^{4}u\,du = \frac{3}{8}u - \frac{1}{4}\sin 2u + \frac{1}{32}\sin 4u + C.

Passo 6

Voltamos à variável x usando u=x^{2}-1. Substituindo u em cada termo obtemos a primitiva em x:
F(x)=\frac{3}{8}\bigl(x^{2}-1\bigr) - \frac{1}{4}\sin\bigl(2(x^{2}-1)\bigr) + \frac{1}{32}\sin\bigl(4(x^{2}-1)\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{8}\bigl(x^{2}-1\bigr)-\frac{1}{4}\sin\bigl(2(x^{2}-1)\bigr)+\frac{1}{32}\sin\bigl(4(x^{2}-1)\bigr)+C

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