Calcule a integral indefinida:
∫sen32θcos42θdθ

Passo 1

Temos que calcular a integral indefinida
\int \sin^3(2\theta)\cos^4(2\theta)\,d\theta.
O que o enunciado dá: a função a integrar é um produto de potências de seno e cosseno com argumento \;2\theta\;. A incógnita é \theta. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja \sin^3(2\theta)\cos^4(2\theta). Não há mais informações nem restrições.

Passo 2

Observação importante (identidade trigonométrica que vamos usar): para qualquer ângulo x vale
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x.
Isto é útil quando temos potências pares de uma função trigonométrica; aqui temos \sin^3(2\theta)=\sin^2(2\theta)\cdot\sin(2\theta), ou seja, podemos transformar \sin^2(2\theta) em 1-\cos^2(2\theta) e ficar com um fator \sin(2\theta)\,d\theta que combina bem com a derivada de \cos(2\theta). Vou aplicar essa ideia agora.

Passo 3

Reescrevo a integral separando um fator \sin(2\theta):
\int \sin^3(2\theta)\cos^4(2\theta)\,d\theta = \int \big(\sin^2(2\theta)\big)\sin(2\theta)\cos^4(2\theta)\,d\theta.
Agora substituo \sin^2(2\theta) por 1-\cos^2(2\theta):
\int \big(1-\cos^2(2\theta)\big)\sin(2\theta)\cos^4(2\theta)\,d\theta.

Passo 4

Faço a substituição u=\cos(2\theta). Vou explicar por que isso funciona:
  • A derivada de u=\cos(2\theta) em relação a \theta é, pela regra da cadeia,
\frac{du}{d\theta} = -2\sin(2\theta).
  • Portanto
\sin(2\theta)\,d\theta = -\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral, e lembrando que \cos(2\theta)=u, obtemos
\int \big(1-u^2\big) u^4 \left(-\tfrac{1}{2}\,du\right).
Faço sair a constante -\tfrac{1}{2}:
-\tfrac{1}{2}\int \big(1-u^2\big)u^4\,du.

Passo 5

Simplifico o integrando: \big(1-u^2\big)u^4 = u^4 - u^6. Então a integral vira
-\tfrac{1}{2}\int \big(u^4 - u^6\big)\,du = -\tfrac{1}{2}\left(\int u^4\,du - \int u^6\,du\right).
Agora integro termo a termo usando a fórmula básica da antiderivada de potência: \displaystyle \int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C (válida para n\neq -1). Aplicando:
\int u^4\,du = \frac{u^5}{5},\qquad \int u^6\,du = \frac{u^7}{7}.
Portanto
-\tfrac{1}{2}\left(\frac{u^5}{5} - \frac{u^7}{7}\right).

Passo 6

Multiplico a constante -\tfrac{1}{2}:
-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^5}{5} + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^7}{7} = -\frac{u^5}{10} + \frac{u^7}{14}.
Agora volto à variável original usando u=\cos(2\theta). Assim a primitiva em termos de \theta é
-\frac{\cos^5(2\theta)}{10} + \frac{\cos^7(2\theta)}{14} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\dfrac{\cos^5(2\theta)}{10}+\dfrac{\cos^7(2\theta)}{14}+C

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