Calcule a integral indefinida:
∫sen32θcos42θdθ
∫sen32θcos42θdθ
Passo 1
Temos que calcular a integral indefinida
O que o enunciado dá: a função a integrar é um produto de potências de seno e cosseno com argumento
. A incógnita é
. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja
. Não há mais informações nem restrições.
Passo 2
Observação importante (identidade trigonométrica que vamos usar): para qualquer ângulo
vale
Isto é útil quando temos potências pares de uma função trigonométrica; aqui temos
, ou seja, podemos transformar
em
e ficar com um fator
que combina bem com a derivada de
. Vou aplicar essa ideia agora.
Passo 3
Reescrevo a integral separando um fator
:
Agora substituo
por
:
Passo 4
Faço a substituição
. Vou explicar por que isso funciona:
- A derivada de
em relação a é, pela regra da cadeia,
- Portanto
Substituindo na integral, e lembrando que
, obtemos
Faço sair a constante
:
Passo 5
Simplifico o integrando:
. Então a integral vira
Agora integro termo a termo usando a fórmula básica da antiderivada de potência:
(válida para
). Aplicando:
Portanto
Passo 6
Multiplico a constante
:
Agora volto à variável original usando
. Assim a primitiva em termos de
é
onde
é a constante de integração.