Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
.
Informações dadas e pedidos:
Informações dadas e pedidos:
- A função a integrar é
. - Pede-se achar uma primitiva (antiderivada)
tal que . - Observação importante sobre domínio: a expressão
está definida apenas para , portanto a primitiva será considerada em .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): procurar uma substituição que transforme a integral numa forma fácil de integrar. Note que no integrando aparece
multiplicado por
. A derivada de
é exatamente
. Isto sugere usar a substituição
Vou explicar o que acontece nessas substituições. Se
, então
. A integral original, escrita em termos de
, fica uma integral em
, muitas vezes mais simples.
Passo 3
Aplicando a substituição
: calculemos
.
Reescrevendo o diferencial
em função de
não é necessário aqui; basta observar que
. Assim a integral transforma-se em
Passo 4
Calcular
usando a regra das potências para integrais. A regra diz que, para
,
No nosso caso
, logo
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
. Assim a primitiva fica
onde
é a constante de integração e a expressão vale para
.
Passo 6
Verificação (para consolidar a ideia): derivar
e ver se volta ao integrando. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente a função dada. Então a primitiva está correta.