Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=\frac{\ln (x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função \displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{x}.
Informações dadas e pedidos:
  • A função a integrar é \displaystyle \frac{\ln(x)}{x}.
  • Pede-se achar uma primitiva (antiderivada) \displaystyle F(x) tal que \displaystyle F'(x)=\frac{\ln(x)}{x}.
  • Observação importante sobre domínio: a expressão \ln(x) está definida apenas para \displaystyle x>0, portanto a primitiva será considerada em \displaystyle (0,\infty).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): procurar uma substituição que transforme a integral numa forma fácil de integrar. Note que no integrando aparece \displaystyle \ln(x) multiplicado por \displaystyle \frac{1}{x}. A derivada de \displaystyle \ln(x) é exatamente \displaystyle \frac{1}{x}. Isto sugere usar a substituição
u=\ln(x).
Vou explicar o que acontece nessas substituições. Se \displaystyle u=g(x), então \displaystyle du=g'(x)\,dx. A integral original, escrita em termos de u, fica uma integral em u, muitas vezes mais simples.

Passo 3

Aplicando a substituição \displaystyle u=\ln(x): calculemos \displaystyle du.
u=\ln(x)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx.
Reescrevendo o diferencial \displaystyle dx em função de \displaystyle du não é necessário aqui; basta observar que \displaystyle \frac{\ln(x)}{x}\,dx = u\,du. Assim a integral transforma-se em
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int u\,du usando a regra das potências para integrais. A regra diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=1, logo
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo \displaystyle u=\ln(x). Assim a primitiva fica
F(x)=\frac{(\ln(x))^{2}}{2}+C,
onde \displaystyle C é a constante de integração e a expressão vale para \displaystyle x>0.

Passo 6

Verificação (para consolidar a ideia): derivar F(x) e ver se volta ao integrando. Usando a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\ln(x)\cdot\frac{1}{x}=\frac{\ln(x)}{x},
que é exatamente a função dada. Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{(\ln(x))^{2}}{2}+C

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