Questão 1
Sejam
. Considere a função
definida por
(a) Sabendo que
é a equação da reta tangente ao gráfico de
em
, determine os valores de
e
.
(b) Utilizando os valores de
e
encontrados no item anterior, faça o que se pede:
(b.1) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
em seus pontos de máximo e mínimo local, caso existam.
(b.2) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
em seus pontos de inflexão, caso existam.
(b.3) Determine o valor
tal que a reta tangente ao gráfico de
em
tem a maior inclinação possível.
(b) Utilizando os valores de
(b.1) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
(b.2) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
(b.3) Determine o valor
Passo 1
Vamos listar com calma o que o enunciado nos dá e o que pede. (Peguei todas as informações do enunciado.)
- A função é
definida por
- O enunciado afirma que a reta
é tangente ao gráfico de em .
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar e
sabendo que a reta tangente em
é
.
(a) Determinar
(b) Usando esses
e
:
(b.1) Encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico de em seus pontos de máximo e mínimo local (se existirem).
(b.2) Encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico de em seus pontos de inflexão (se existirem).
(b.3) Determinar tal que a reta tangente em
tenha a maior inclinação possível.
(b.1) Encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico de
(b.2) Encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico de
(b.3) Determinar
Informações relevantes adicionais que vou usar (sem resolver ainda):
- A reta tangente em
tem equação . Como a reta dada é , isso implica que e . - Para derivar
vou usar a regra do quociente: se , então . - Máximos e mínimos locais ocorrem em pontos críticos onde
(ou onde não existe). Para classificar uso o teste da segunda derivada : se tem mínimo local; se tem máximo local. - Pontos de inflexão são pontos onde
e a concavidade troca de sinal.
A partir daqui eu vou calcular explicitamente
, depois derivadas, pontos críticos, inflexões, equações das retas tangentes e finalmente o
que maximiza a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Determinar
e
usando a condição da reta tangente em
.
- Primeiro,
. A reta tangente em é , que passa por . Portanto . Assim
já que
(se
o denominador seria
em
, o que contradiz
).
- Agora usamos
. Vou calcular pela regra do quociente com . Colocando temos e . Derivadas:
Pela regra do quociente,
Avaliação em
:
Como queremos
, temos
Conclusão deste passo:
e
.
Passo 3
Substituir
e
e simplificar
. Isso ajuda nos cálculos seguintes.
Com
e
,
Para facilitar derivadas e valores, faço a divisão polinomial (dividir o numerador pelo denominador), que dá um quociente linear e um resto racional:
Logo
Esse formato é mais prático para avaliar
e entender comportamento global (parte polinomial
+ parte racional pequena).
Passo 4
Calcular
e encontrar os pontos críticos (onde
) — passo a passo didático.
Parto da expressão racional direta e uso a regra do quociente no resultado já simplificado ou uso a forma original; aqui escrevo a expressão final de
(obtida pela regra do quociente e simplificação):
Explicação: o numerador é um polinômio de grau
(escrevi os termos resultantes da aplicação do quociente), e o denominador é sempre positivo
para todo
. Logo os pontos críticos são exatamente as raízes do numerador
Agora, para achar raízes reais desse polinômio de grau
eu verifico sinais para localizar raízes e depois faço aproximação numérica (método de bissecção/iteração), já que as raízes não são racionais simples.
- Avaliando sinais:
, , . Assim há duas raízes reais entre e . - Aplicando bissecção e refinamento numérico (detalhes do processo numérico omitidos para não alongar demais, mas feito passo a passo com avaliações sucessivas) encontro duas raízes reais aproximadas:
Esses são os pontos onde
. Não existem outros zeros reais do numerador (as outras duas raízes do quartic são complexas), portanto são os únicos pontos críticos na
.
Passo 5
Classificar esses pontos críticos (máximo ou mínimo local) usando a segunda derivada — ensino prático de como se procede.
- Primeiro obtenho
. A conta direta dá (após simplificação)
Observação didática: a forma foi obtida diferenciando
e simplificando; o fator
no denominador é sempre positivo, então o sinal de
é determinado pelo sinal do polinômio cúbico
multiplicado por
.
- Para classificar um ponto crítico
, basta avaliar : - Se
: mínimo local. - Se
: máximo local.
- Se
Faço a avaliação numérica em cada ponto crítico:
- Em
: - Calculo
numericamente e encontro . Portanto é ponto de máximo local.
- Calculo
- Em
: - Calculo
numericamente e encontro . Portanto é ponto de mínimo local.
- Calculo
Comentário didático rápido: o teste da segunda derivada é prático quando
pode ser avaliada; se
aí precisaríamos de outro teste (análise de sinais de
ou derivadas superiores).
Passo 6
Determinar as equações das retas tangentes em cada máximo e mínimo local (item (b.1)).
Regra prática: a reta tangente em
é
No caso de máximos/minimos locais que encontramos,
, então as retas tangentes são horizontais:
- No máximo em
, a reta tangente é . Calculando pela expressão obtemos Logo a reta tangente é - No mínimo em
, calculando obtemos Logo a reta tangente é
(Apresento os valores aproximados com quatro casas decimais quando necessário.)
Passo 7
Determinar pontos de inflexão resolvendo
e, depois, escrever as retas tangentes nesses pontos (item (b.2)).
- Como observamos no Passo 5, a condição
reduz à raiz do cúbico
Esse polinômio tem três raízes reais (teste de sinais e análise mostram três mudanças de sinal). Fazendo aproximações numéricas por bissecção/refinamento, obtemos as três raízes reais:
Cada uma dessas é um candidato a ponto de inflexão; como as raízes são simples (multiplicidade
), a concavidade troca de sinal em cada uma — logo são pontos de inflexão reais.
- Agora calculo para cada
a inclinação e o valor para montar a reta tangente
Cálculos numéricos (valores aproximados):
-
Para
: -
. -
. - Reta tangente:
-
-
Para
: -
. -
. - Reta tangente:
Observação: isso é coerente com a tangente emser ; por causa de deslocamento pequeno e inclinação próxima. -
-
Para
: -
. -
. - Reta tangente:
-
Essas são as retas tangentes nos pontos de inflexão (valores aproximados).
Passo 8
Determinar o
tal que a reta tangente em
tem a maior inclinação possível (item (b.3)).
Explicação do método (didática): a inclinação da reta tangente em
é
. Para encontrar o ponto onde essa inclinação é máxima, devemos maximizar a função
sobre o intervalo aberto
. Como
é diferenciável em todo o domínio, os pontos candidatos onde
pode atingir um máximo interior são aqueles onde
(e possivelmente pontos de fronteira, mas o domínio é aberto e
tende para valores próximos a
para
grandes dentro do intervalo, portanto os extremos interiores assumidos em pontos críticos de
são os relevantes).
Logo, devemos avaliar
nos pontos onde
, que já encontramos:
. Avaliando
nesses pontos (usando os valores calculados no Passo 7):
-
. -
. -
.
Comparando, o maior valor de
é aproximadamente
, atingido em
. Também verifiquei que
aproxima-se de
para valores grandes de
(dado o comportamento assintótico do quociente dos polinômios), então não há valores maiores que
próximos às bordas do domínio. Portanto o ponto onde a reta tangente tem a maior inclinação é
Resposta
(a)
(b.1) Retas tangentes nos extremos locais:
y
(reta horizontal no máximo em
)
y
(reta horizontal no mínimo em
)
y
y
(b.2) Pontos de inflexão e retas tangentes (aprox.):
(b.3)
(ponto onde
é máximo, com inclinação
).