Questão 1

Sejam a, b \in \mathbb{R}. Considere a função f definida por
f(x)=\frac{3 x^{3}-3 x^{2}-18 x+a}{x^{2}+b}, \quad \operatorname{Dom}(f)=(-6,6)
(a) Sabendo que y=-18 x é a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=0, determine os valores de a e b.
(b) Utilizando os valores de a e b encontrados no item anterior, faça o que se pede:
(b.1) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f em seus pontos de máximo e mínimo local, caso existam.
(b.2) Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f em seus pontos de inflexão, caso existam.
(b.3) Determine o valor x_{m} \in \operatorname{Dom}(f) tal que a reta tangente ao gráfico de f em x=x_{m} tem a maior inclinação possível.

Passo 1

Vamos listar com calma o que o enunciado nos dá e o que pede. (Peguei todas as informações do enunciado.)
  • A função é f definida por
f(x)=\frac{3x^{3}-3x^{2}-18x+a}{x^{2}+b},\qquad \operatorname{Dom}(f)=(-6,6).
  • O enunciado afirma que a reta y=-18x é tangente ao gráfico de f em x=0.
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar a e b sabendo que a reta tangente em x=0 é y=-18x.
(b) Usando esses a e b:
(b.1) Encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico de f em seus pontos de máximo e mínimo local (se existirem).
(b.2) Encontrar as equações das retas tangentes ao gráfico de f em seus pontos de inflexão (se existirem).
(b.3) Determinar x_{m}\in\operatorname{Dom}(f) tal que a reta tangente em x=x_{m} tenha a maior inclinação possível.
Informações relevantes adicionais que vou usar (sem resolver ainda):
  • A reta tangente em x=0 tem equação y=f(0)+f'(0)(x-0). Como a reta dada é y=-18x, isso implica que f(0)=0 e f'(0)=-18.
  • Para derivar f vou usar a regra do quociente: se f=\dfrac{N}{D}, então f'=\dfrac{N'D-ND'}{D^{2}}.
  • Máximos e mínimos locais ocorrem em pontos críticos onde f'(x)=0 (ou onde f' não existe). Para classificar uso o teste da segunda derivada f''(x): se f''(x)>0 tem mínimo local; se f''(x)<0 tem máximo local.
  • Pontos de inflexão são pontos onde f''(x)=0 e a concavidade troca de sinal.
A partir daqui eu vou calcular explicitamente a,b, depois derivadas, pontos críticos, inflexões, equações das retas tangentes e finalmente o x_m que maximiza a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Determinar a e b usando a condição da reta tangente em x=0.
  • Primeiro, f(0)=\dfrac{a}{b}. A reta tangente em 0 é y=-18x, que passa por (0,0). Portanto f(0)=0. Assim
\frac{a}{b}=0\quad\Rightarrow\quad a=0,
já que b\neq0 (se b=0 o denominador seria 0 em x=0, o que contradiz \operatorname{Dom}(f)=(-6,6)).
  • Agora usamos f'(0)=-18. Vou calcular f'(x) pela regra do quociente com a=0. Colocando a=0 temos N(x)=3x^{3}-3x^{2}-18x e D(x)=x^{2}+b. Derivadas:
N'(x)=9x^{2}-6x-18,\qquad D'(x)=2x.
Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{(9x^{2}-6x-18)(x^{2}+b)-(3x^{3}-3x^{2}-18x)(2x)}{(x^{2}+b)^{2}}.
Avaliação em x=0:
f'(0)=\frac{(-18)(b)-0}{b^{2}}=\frac{-18b}{b^{2}}=-\frac{18}{b}.
Como queremos f'(0)=-18, temos
-\frac{18}{b}=-18\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{b}=1\quad\Rightarrow\quad b=1.
Conclusão deste passo: a=0 e b=1.

Passo 3

Substituir a=0 e b=1 e simplificar f. Isso ajuda nos cálculos seguintes.
Com a=0 e b=1,
f(x)=\frac{3x^{3}-3x^{2}-18x}{x^{2}+1}.
Para facilitar derivadas e valores, faço a divisão polinomial (dividir o numerador pelo denominador), que dá um quociente linear e um resto racional:
\text{Dividindo }3x^{3}-3x^{2}-18x\text{ por }x^{2}+1\text{ obtemos o quociente }3x-3\text{ e resto }-21x+3.
Logo
f(x)=3x-3+\frac{-21x+3}{x^{2}+1}=3x-3+\frac{3(-7x+1)}{x^{2}+1}.
Esse formato é mais prático para avaliar f e entender comportamento global (parte polinomial 3x-3 + parte racional pequena).

Passo 4

Calcular f'(x) e encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0) — passo a passo didático.
Parto da expressão racional direta e uso a regra do quociente no resultado já simplificado ou uso a forma original; aqui escrevo a expressão final de f' (obtida pela regra do quociente e simplificação):
f'(x)=\frac{3x^{4}+27x^{2}-6x-18}{(x^{2}+1)^{2}}.
Explicação: o numerador é um polinômio de grau 4 (escrevi os termos resultantes da aplicação do quociente), e o denominador é sempre positivo (x^{2}+1)^{2}>0 para todo x. Logo os pontos críticos são exatamente as raízes do numerador
3x^{4}+27x^{2}-6x-18=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{4}+9x^{2}-2x-6=0.
Agora, para achar raízes reais desse polinômio de grau 4 eu verifico sinais para localizar raízes e depois faço aproximação numérica (método de bissecção/iteração), já que as raízes não são racionais simples.
  • Avaliando sinais: p(0)=-6<0, p(-1)=6>0, p(1)=2>0. Assim há duas raízes reais entre (-1,0) e (0,1).
  • Aplicando bissecção e refinamento numérico (detalhes do processo numérico omitidos para não alongar demais, mas feito passo a passo com avaliações sucessivas) encontro duas raízes reais aproximadas:
x_{c1}\approx -0.6965\quad\text{e}\quad x_{c2}\approx 0.8913.
Esses são os pontos onde f'(x)=0. Não existem outros zeros reais do numerador (as outras duas raízes do quartic são complexas), portanto são os únicos pontos críticos na \operatorname{Dom}(f)=(-6,6).

Passo 5

Classificar esses pontos críticos (máximo ou mínimo local) usando a segunda derivada — ensino prático de como se procede.
  • Primeiro obtenho f''(x). A conta direta dá (após simplificação)
f''(x)=\frac{-6\bigl(7x^{3}-3x^{2}-21x+1\bigr)}{(x^{2}+1)^{3}}.
Observação didática: a forma foi obtida diferenciando f'(x)=\dfrac{M(x)}{(x^{2}+1)^{2}} e simplificando; o fator (x^{2}+1)^{3} no denominador é sempre positivo, então o sinal de f''(x) é determinado pelo sinal do polinômio cúbico 7x^{3}-3x^{2}-21x+1 multiplicado por -6.
  • Para classificar um ponto crítico x_c, basta avaliar f''(x_c):
    • Se f''(x_c)>0: mínimo local.
    • Se f''(x_c)<0: máximo local.
Faço a avaliação numérica em cada ponto crítico:
  • Em x_{c1}\approx -0.6965:
    • Calculo f''(x_{c1}) numericamente e encontro f''(x_{c1})\approx -21{,}6<0. Portanto x_{c1} é ponto de máximo local.
  • Em x_{c2}\approx 0.8913:
    • Calculo f''(x_{c2}) numericamente e encontro f''(x_{c2})\approx +15{,}7>0. Portanto x_{c2} é ponto de mínimo local.
Comentário didático rápido: o teste da segunda derivada é prático quando f'' pode ser avaliada; se f''(x_c)=0 aí precisaríamos de outro teste (análise de sinais de f' ou derivadas superiores).

Passo 6

Determinar as equações das retas tangentes em cada máximo e mínimo local (item (b.1)).
Regra prática: a reta tangente em x=x_0 é
y = f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0).
No caso de máximos/minimos locais que encontramos, f'(x_0)=0, então as retas tangentes são horizontais:
  • No máximo em x_{c1}\approx -0.6965, a reta tangente é y=f(x_{c1}). Calculando f(x_{c1}) pela expressão f(x)=3x-3+\dfrac{3(-7x+1)}{x^{2}+1} obtemos f(x_{c1})\approx 6{,}7795.Logo a reta tangente é y\approx 6{,}7795.
  • No mínimo em x_{c2}\approx 0.8913, calculando f(x_{c2}) obtemos f(x_{c2})\approx -9{,}0851.Logo a reta tangente é y\approx -9{,}0851.
(Apresento os valores aproximados com quatro casas decimais quando necessário.)

Passo 7

Determinar pontos de inflexão resolvendo f''(x)=0 e, depois, escrever as retas tangentes nesses pontos (item (b.2)).
  • Como observamos no Passo 5, a condição f''(x)=0 reduz à raiz do cúbico
7x^{3}-3x^{2}-21x+1=0.
Esse polinômio tem três raízes reais (teste de sinais e análise mostram três mudanças de sinal). Fazendo aproximações numéricas por bissecção/refinamento, obtemos as três raízes reais:
x_{i1}\approx -1{,}5580,\quad x_{i2}\approx 0{,}04734,\quad x_{i3}\approx 1{,}9370.
Cada uma dessas é um candidato a ponto de inflexão; como as raízes são simples (multiplicidade 1), a concavidade troca de sinal em cada uma — logo são pontos de inflexão reais.
  • Agora calculo para cada x_{ik} a inclinação m_k=f'(x_{ik}) e o valor f(x_{ik}) para montar a reta tangente
y=m_k(x-x_{ik})+f(x_{ik}).
Cálculos numéricos (valores aproximados):
  1. Para x_{i1}\approx -1{,}5580:
    • f(x_{i1})\approx 2{,}7470.
    • f'(x_{i1})\approx 6{,}349.
    • Reta tangente: y\approx 6{,}349\,x+12{,}639\qquad(\text{pois }12{,}639\approx f(x_{i1})-6{,}349\cdot x_{i1}).
  2. Para x_{i2}\approx 0{,}04734:
    • f(x_{i2})\approx -0{,}8566.
    • f'(x_{i2})\approx -18{,}1046.
    • Reta tangente: y\approx -18{,}1046\,x+0{,}0004\qquad(\text{intercepto muito próximo de }0).ó
    Observação: isso é coerente com a tangente em 0 ser y=-18x; por causa de deslocamento pequeno e inclinação próxima.
  3. Para x_{i3}\approx 1{,}9370:
    • f(x_{i3})\approx -5{,}116.
    • f'(x_{i3})\approx 5{,}043.
    • Reta tangente: y\approx 5{,}043\,x-14{,}883.
Essas são as retas tangentes nos pontos de inflexão (valores aproximados).

Passo 8

Determinar o x_{m}\in\operatorname{Dom}(f) tal que a reta tangente em x_{m} tem a maior inclinação possível (item (b.3)).
Explicação do método (didática): a inclinação da reta tangente em x é f'(x). Para encontrar o ponto onde essa inclinação é máxima, devemos maximizar a função g(x)=f'(x) sobre o intervalo aberto (-6,6). Como g é diferenciável em todo o domínio, os pontos candidatos onde g pode atingir um máximo interior são aqueles onde g'(x)=f''(x)=0 (e possivelmente pontos de fronteira, mas o domínio é aberto e f' tende para valores próximos a 3 para |x| grandes dentro do intervalo, portanto os extremos interiores assumidos em pontos críticos de g são os relevantes).
Logo, devemos avaliar f'(x) nos pontos onde f''(x)=0, que já encontramos: x_{i1},x_{i2},x_{i3}. Avaliando f' nesses pontos (usando os valores calculados no Passo 7):
  • f'(x_{i1})\approx 6{,}349.
  • f'(x_{i2})\approx -18{,}1046.
  • f'(x_{i3})\approx 5{,}043.
Comparando, o maior valor de f' é aproximadamente 6{,}349, atingido em x_{i1}\approx -1{,}5580. Também verifiquei que f'(x) aproxima-se de 3 para valores grandes de |x| (dado o comportamento assintótico do quociente dos polinômios), então não há valores maiores que 6{,}349 próximos às bordas do domínio. Portanto o ponto onde a reta tangente tem a maior inclinação é
x_{m}\approx -1{,}5580.

Resposta

(a) a=0,\\ b=1
(b.1) Retas tangentes nos extremos locais:
y = 6{,}7795 (reta horizontal no máximo em x\approx -0{,}6965)
y = -9{,}0851 (reta horizontal no mínimo em x\approx 0{,}8913)
(b.2) Pontos de inflexão e retas tangentes (aprox.):
x\approx -1{,}5580:\\ y\approx 6{,}349\,x+12{,}639
x\approx 0{,}04734:\\ y\approx -18{,}1046\,x+0{,}0004
x\approx 1{,}9370:\\ y\approx 5{,}043\,x-14{,}883
(b.3) x_{m}\approx -1{,}5580 (ponto onde f'(x) é máximo, com inclinação f'(x_{m})\approx 6{,}349).

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