Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede calcular a integral indefinida da função
. - A informação relevante é a expressão do integrando:
. - Queremos encontrar uma função
tal que ; a resposta final será , onde é constante arbitrária.
Passo 2
Observação útil e motivo da escolha de método (explicação didática do que vamos usar):
- Repare que dentro de
aparece a função elevada a uma potência, e multiplicando vem . - Lembra do fato básico: a derivada de
é . Em símbolos, . - Isso sugere usar a substituição
, porque então o diferencial será proporcional a . Substituir assim transforma a integral de uma expressão em numa integral em mais simples. - Mini-aula da regra que vamos usar: para qualquer real
,
Essa é a regra do “expoente” para primitiva (antiderivada). Vamos aplicá-la depois da substituição.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
- Definimos
. - Calculamos o diferencial:
- Então a integral original
fica, após substituir
e
,
Passo 4
Calcular a integral em
usando a regra do expoente:
- Aplicando
com , obtemos
Passo 5
Voltar a
substituindo
de volta:
Passo 6
Verificação rápida (checar que está correto usando derivação):
- Derivando
pelo teorema da cadeia:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para prova (resumindo a técnica):
- Quando tiver
com multiplicando, sempre tente . - Analogamente, se houver
, tente . Isso simplifica muito tempo na prova.