Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{4}(x) \cos (x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede calcular a integral indefinida da função f(x)=\sin^{4}(x)\cos(x).
  • A informação relevante é a expressão do integrando: \sin^{4}(x)\cos(x).
  • Queremos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\sin^{4}(x)\cos(x); a resposta final será F(x)+C, onde C é constante arbitrária.

Passo 2

Observação útil e motivo da escolha de método (explicação didática do que vamos usar):
  • Repare que dentro de \sin^{4}(x) aparece a função \sin(x) elevada a uma potência, e multiplicando vem \cos(x)\,dx.
  • Lembra do fato básico: a derivada de \sin(x) é \cos(x). Em símbolos, \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • Isso sugere usar a substituição u=\sin(x), porque então o diferencial du será proporcional a \cos(x)\,dx. Substituir assim transforma a integral de uma expressão em x numa integral em u mais simples.
  • Mini-aula da regra que vamos usar: para qualquer real n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Essa é a regra do “expoente” para primitiva (antiderivada). Vamos aplicá-la depois da substituição.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
  • Definimos u=\sin(x).
  • Calculamos o diferencial:
du=\cos(x)\,dx.
  • Então a integral original
\int \sin^{4}(x)\cos(x)\,dx
fica, após substituir \sin(x)=u e \cos(x)\,dx=du,
\int u^{4}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u usando a regra do expoente:
  • Aplicando \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C com n=4, obtemos
\int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5}+C.

Passo 5

Voltar a x substituindo u=\sin(x) de volta:
\frac{u^{5}}{5}+C=\frac{\sin^{5}(x)}{5}+C.

Passo 6

Verificação rápida (checar que está correto usando derivação):
  • Derivando \dfrac{\sin^{5}(x)}{5} pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin^{5}(x)}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot 5\sin^{4}(x)\cdot\cos(x)=\sin^{4}(x)\cos(x),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para prova (resumindo a técnica):
  • Quando tiver \sin^{n}(x)\cos(x) com \cos(x)\,dx multiplicando, sempre tente u=\sin(x).
  • Analogamente, se houver \cos^{n}(x)\sin(x)\,dx, tente u=\cos(x). Isso simplifica muito tempo na prova.

Resposta

\dfrac{\sin^{5}(x)}{5}+C

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