Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=x \cos (x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a integral indefinida da função f(x)=x\cos(x), isto é, encontrar uma primitiva F(x) tal que
F'(x)=x\cos(x).
  • Informação dada: a função integranda é x\cos(x). Não há condições adicionais. O objetivo final é escrever \displaystyle \int x\cos(x)\,dx na forma de uma expressão fechada mais constante de integração.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem entrar em nomes de disciplinas no Passo 1): por que esse método funciona
  • Quando a integranda é um produto de duas funções simples, uma boa estratégia é usar uma fórmula que transforma a integral de um produto em termos de outras integrais mais simples. A fórmula que vamos usar tem duas partes que chamaremos de u e dv.
  • A fórmula (em bloco) que vamos usar é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função cuja derivada du é mais simples que u,
  • dv é uma parte da integranda que sabemos integrar facilmente (ou seja, sabemos encontrar v tal que dv = v'\,dx).
  • Explicando a fórmula: ela vem do produto derivado (uv)'=u'v+uv'. Integrando ambos os lados e rearranjando, obtém-se a identidade acima. A ideia prática é escolher u e dv para simplificar a nova integral \int v\,du.

Passo 3

Escolha de u e dv para a nossa integral
  • Temos \int x\cos(x)\,dx. Aqui é natural escolher: u = x,\qquad dv=\cos(x)\,dx.
  • Justificativa informal: derivar x 1, que é mais simples; integrar \cos(x) é trivial (dá \sin(x)). Assim a nova integral será mais simples.

Passo 4

Calcular du e v
  • Derivando u:
du = u'\,dx = (x)'\,dx = 1\,dx = dx.
  • Integrando dv:
v = \int dv = \int \cos(x)\,dx = \sin(x).
  • Agora temos u, v, du prontos para aplicar a fórmula.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes passo a passo
  • Substituindo na fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du, obtemos:
\int x\cos(x)\,dx = u v - \int v\,du = x\cdot\sin(x) - \int \sin(x)\,dx.
  • Agora calculamos \displaystyle \int \sin(x)\,dx. Lembrando a primitiva básica:
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).
  • Portanto:
\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \big(-\cos(x)\big).

Passo 6

Simplificar a expressão e adicionar a constante de integração
  • Simplificando o sinal:
x\sin(x) - \big(-\cos(x)\big) = x\sin(x) + \cos(x).
  • Como é uma integral indefinida, acrescenta-se a constante de integração C. Assim a primitiva geral é:
F(x) = x\sin(x) + \cos(x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança na prova)
  • Derivar F(x) e checar se volta para x\cos(x):
F'(x) = \big(x\sin(x)\big)' + \big(\cos(x)\big)'.
  • Calcule as derivadas usando a regra do produto:
\big(x\sin(x)\big)' = 1\cdot\sin(x) + x\cdot\cos(x) = \sin(x) + x\cos(x),
\big(\cos(x)\big)' = -\sin(x).
  • Somando:
F'(x) = \sin(x) + x\cos(x) - \sin(x) = x\cos(x),
que é justamente a integranda. Verificação OK.

Passo 8

Dica prática para a prova (rapidinha e amigável)
  • Sempre que vir um produto polinomial vezes trigonométrica (como x\cos(x), x\sin(x), x^2\cos(x) etc.), pense em integração por partes escolhendo u como a parte polinomial (que diminui ao derivar) e dv como a trigonométrica (que é fácil de integrar).
  • Se a parte polinomial for de grau maior (por exemplo x^2), pode ser necessário aplicar partes repetidas — o princípio é o mesmo: cada aplicação reduz o grau do polinômio até a integral ficar direta.

Resposta

x\sin(x)+\cos(x)+C

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