Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a integral indefinida da função
, isto é, encontrar uma primitiva tal que
- Informação dada: a função integranda é
. Não há condições adicionais. O objetivo final é escrever na forma de uma expressão fechada mais constante de integração.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem entrar em nomes de disciplinas no Passo 1): por que esse método funciona
- Quando a integranda é um produto de duas funções simples, uma boa estratégia é usar uma fórmula que transforma a integral de um produto em termos de outras integrais mais simples. A fórmula que vamos usar tem duas partes que chamaremos de
e . - A fórmula (em bloco) que vamos usar é:
onde:
-
é uma função cuja derivada é mais simples que , -
é uma parte da integranda que sabemos integrar facilmente (ou seja, sabemos encontrar tal que ). - Explicando a fórmula: ela vem do produto derivado
. Integrando ambos os lados e rearranjando, obtém-se a identidade acima. A ideia prática é escolher e para simplificar a nova integral .
Passo 3
Escolha de
e
para a nossa integral
- Temos
. Aqui é natural escolher: - Justificativa informal: derivar
dá , que é mais simples; integrar é trivial (dá ). Assim a nova integral será mais simples.
Passo 4
Calcular
e
- Derivando
:
- Integrando
:
- Agora temos
, , prontos para aplicar a fórmula.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes passo a passo
- Substituindo na fórmula
, obtemos:
- Agora calculamos
. Lembrando a primitiva básica:
- Portanto:
Passo 6
Simplificar a expressão e adicionar a constante de integração
- Simplificando o sinal:
- Como é uma integral indefinida, acrescenta-se a constante de integração
. Assim a primitiva geral é:
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança na prova)
- Derivar
e checar se volta para :
- Calcule as derivadas usando a regra do produto:
- Somando:
que é justamente a integranda. Verificação OK.
Passo 8
Dica prática para a prova (rapidinha e amigável)
- Sempre que vir um produto polinomial vezes trigonométrica (como
, , etc.), pense em integração por partes escolhendo como a parte polinomial (que diminui ao derivar) e como a trigonométrica (que é fácil de integrar). - Se a parte polinomial for de grau maior (por exemplo
), pode ser necessário aplicar partes repetidas — o princípio é o mesmo: cada aplicação reduz o grau do polinômio até a integral ficar direta.