Calcule a integral indefinida:
\int \frac{5 x-3}{x^{2}-2 x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\,dx
Isso é uma função racional cujo denominador é um polinômio de segundo grau. Para resolver vamos usar decomposição em frações parciais: fatorar o denominador e escrever a fração como soma de termos mais simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^{2}-2x-3.
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).

Passo 3

Escrevemos
\frac{5x-3}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1), obtemos
5x-3 = A(x+1) + B(x-3).
De onde igualamos coeficientes:
A + B = 5,
A - 3B = -3.
Resolvendo o sistema, achamos
B = 2, \quad A = 3.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\,dx = \int \Bigl(\frac{3}{x-3} + \frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx = 3\int \frac{dx}{x-3} + 2\int \frac{dx}{x+1}.
Cada termo é uma integral do tipo \int \frac{dx}{x-a} = \ln\lvert x-a\rvert. Logo,
3\int \frac{dx}{x-3} = 3\ln\lvert x-3\rvert, \quad 2\int \frac{dx}{x+1} = 2\ln\lvert x+1\rvert.

Resposta

3\ln\lvert x-3\rvert + 2\ln\lvert x+1\rvert + C

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