Calcule a integral definida:
\int_{0}^{\pi / 2} x \sin (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} x\,\sin(x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar a integral:
u = x \quad\Longrightarrow\quad du = dx,
dv = \sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad v = \int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos uma primitiva
\int x\,\sin(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = -x\cos(x) \;-\int \bigl(-\cos(x)\bigr)\,dx = -x\cos(x) + \int \cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x) + C.

Passo 4

Para a integral definida de 0 a \pi/2, definimos
F(x) = -x\cos(x) + \sin(x)
e calculamos
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\tfrac{\pi}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0 + 1 = 1,
F(0) = -0\cdot\cos(0) + \sin(0) = 0 + 0 = 0.
Logo,
\int_{0}^{\pi/2} x\,\sin(x)\,dx = F\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - F(0) = 1 - 0 = 1.

Resposta

1

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