Calcule a integral indefinida
\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+2 x\right)\cos x\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • Temos uma soma dentro da integral: x^{2}\cos x e 2x\cos x.
  • A integral é indefinida (ou seja, devemos obter uma primitiva com constante de integração C).

Passo 2

Escolha do método: como a integranda é um produto de polinômio em x e função trigonométrica \cos x, o método mais direto é a integração por partes (talvez aplicada repetidas vezes).
Vou explicar a fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x) diferenciáveis vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função cuja derivada du é mais simples que u, e dv é uma parte que se consegue integrar facilmente para obter v. A estratégia clássica com polinômios vezes funções trigonométricas é escolher o polinômio como u (porque ao derivar ele diminui o grau) e a trigonométrica como dv.
Antes de aplicar a fórmula, uso linearidade da integral para separar:
\int\left(x^{2}+2 x\right)\cos x\,dx = \int x^{2}\cos x\,dx + 2\int x\cos x\,dx.
Vou calcular ambas as integrais separadamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int x\cos x\,dx.
Escolho u=x e dv=\cos x\,dx. Então
du = dx,\qquad v=\int \cos x\,dx=\sin x.
Aplicando integração por partes:
\int x\cos x\,dx = u v - \int v\,du = x\sin x - \int \sin x\,dx.
Agora \displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x. Portanto
\int x\cos x\,dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x + C_1.
(Em integrais indefinidas posso adiar a constante; aqui uso C_1 temporariamente.)

Passo 4

Calcular \displaystyle \int x^{2}\cos x\,dx.
Escolho u=x^{2} e dv=\cos x\,dx. Então
du = 2x\,dx,\qquad v=\sin x.
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int \sin x\cdot 2x\,dx = x^{2}\sin x - 2\int x\sin x\,dx.
Agora preciso calcular \displaystyle \int x\sin x\,dx. Faço integração por partes novamente para essa integral: escolha u=x e dv=\sin x\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int \sin x\,dx = -\cos x.
Portanto
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = -x\cos x - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E \displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x. Assim
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C_2.
Voltando à expressão para \int x^{2}\cos x\,dx:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - 2\bigl(-x\cos x + \sin x\bigr) + C_3.
Expandindo e juntando termos:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C_3.

Passo 5

Agora combino as duas integrais originais:
\int\left(x^{2}+2 x\right)\cos x\,dx = \bigl(x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x\bigr) + 2\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) + C,
onde juntei as constantes em uma única constante C. Vou ampliar e simplificar os termos:
= x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + 2x\sin x + 2\cos x + C.
Agrupando termos parecidos (opcional):
= x^{2}\sin x + 2x\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + 2\cos x + C.
Uma forma um pouco mais compacta é factorizar alguns termos:
= x^{2}\sin x + 2x(\sin x + \cos x) + 2(\cos x - \sin x) + C.
Todas as formas acima são equivalentes (diferem somente pela reorganização e pela constante C).

Passo 6

Verificação rápida (opcional): ao derivar a expressão
F(x)=x^{2}\sin x + 2x\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + 2\cos x
obtemos, usando a regra do produto e derivadas de \sin e \cos, exatamente \left(x^{2}+2x\right)\cos x. Isso confirma que a primitiva encontrada está correta (a verificação passo a passo da derivada é direta, mas omitida aqui por economia de espaço).

Resposta

x^{2}\sin x + 2x\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + 2\cos x + C

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