Calcule a integral indefinida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Temos uma soma dentro da integral:
e . - A integral é indefinida (ou seja, devemos obter uma primitiva com constante de integração
).
Passo 2
Escolha do método: como a integranda é um produto de polinômio em
e função trigonométrica
, o método mais direto é a integração por partes (talvez aplicada repetidas vezes).
Vou explicar a fórmula de integração por partes: para funções e
diferenciáveis vale
Vou explicar a fórmula de integração por partes: para funções
Aqui
é uma função cuja derivada
é mais simples que
, e
é uma parte que se consegue integrar facilmente para obter
. A estratégia clássica com polinômios vezes funções trigonométricas é escolher o polinômio como
(porque ao derivar ele diminui o grau) e a trigonométrica como
.
Antes de aplicar a fórmula, uso linearidade da integral para separar:
Vou calcular ambas as integrais separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Escolho
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Agora
. Portanto
(Em integrais indefinidas posso adiar a constante; aqui uso
temporariamente.)
Passo 4
Calcular
.
Escolho
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Agora preciso calcular
. Faço integração por partes novamente para essa integral: escolha
e
. Então
Portanto
E
. Assim
Voltando à expressão para
:
Expandindo e juntando termos:
Passo 5
Agora combino as duas integrais originais:
onde juntei as constantes em uma única constante
. Vou ampliar e simplificar os termos:
Agrupando termos parecidos (opcional):
Uma forma um pouco mais compacta é factorizar alguns termos:
Todas as formas acima são equivalentes (diferem somente pela reorganização e pela constante
).
Passo 6
Verificação rápida (opcional): ao derivar a expressão
obtemos, usando a regra do produto e derivadas de
e
, exatamente
. Isso confirma que a primitiva encontrada está correta (a verificação passo a passo da derivada é direta, mas omitida aqui por economia de espaço).