Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
e
indicadas.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
usando a integração por partes com as escolhas indicadas:
Informações extras importantes que o enunciado dá:
- A variável é
e, por causa de , devemos considerar (domínio onde o logaritmo natural está definido). - A resposta deve ser uma primitiva da função
, ou seja, uma expressão tal que , mais uma constante de integração .
Passo 2
Vou relembrar a fórmula de integração por partes e explicar cada termo (é essencial para aplicar corretamente):
- A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se tomarmos duas funções
e , a regra do produto diz que
- Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
- Rearranjando para isolar
obtemos a fórmula de integração por partes:
onde:
-
é uma função escolhida (aqui ); -
é a outra parte (aqui ); -
é a derivada de em forma diferencial ( ); -
é uma antiderivada de (ou seja, ).
Dica prática (por que escolher
e
?): escolheu-se
porque derivar
simplifica (gera
); escolheu-se
porque é fácil integrar
para obter
. Essa é a ideia clássica do método: escolher
que simplifica ao derivar e
fácil de integrar.
Passo 3
Calcular
e
a partir das escolhas dadas.
- Como
, sua diferencial é
- Como
, uma primitiva de é , portanto
Mostrando a conta do integral:
, e aqui basta tomar uma primitiva específica
porque a constante será absorvida na constante final.
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 5
Simplificar o integrando restante antes de integrar:
Então
Fatorando a constante
para fora do integral:
Passo 6
Calcular a integral simples
:
Substituindo:
Multiplicando os fatores:
Passo 7
Podemos escrever a resposta de forma fatorada, se preferir:
Ambas as formas são equivalentes; a constante
representa qualquer constante de integração.
Passo 8
Verificação rápida (boa prática): derivar a primitiva encontrada para conferir que dá o integrando.
Tomando ,
Tomando
usar regra do produto para
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Então
Simplificando o segundo e terceiro termos:
logo
, que é exatamente o integrando. Verificação concluída.