Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
\int x^{2} \ln x d x ; u=\ln x, d v=x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2}\ln x\,dx
usando a integração por partes com as escolhas indicadas:
  • u=\ln x
  • dv=x^{2}\,dx
Informações extras importantes que o enunciado dá:
  • A variável é x e, por causa de \ln x, devemos considerar x>0 (domínio onde o logaritmo natural está definido).
  • A resposta deve ser uma primitiva da função x^{2}\ln x, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\ln x, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Vou relembrar a fórmula de integração por partes e explicar cada termo (é essencial para aplicar corretamente):
  • A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se tomarmos duas funções u(x) e v(x), a regra do produto diz que
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx.
  • Rearranjando para isolar \int u(x)v'(x)\,dx obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função escolhida (aqui u=\ln x);
  • dv é a outra parte (aqui dv=x^{2}\,dx);
  • du é a derivada de u em forma diferencial ( du=u'\,dx);
  • v é uma antiderivada de dv (ou seja, v=\int dv).
Dica prática (por que escolher u=\ln x e dv=x^2 dx?): escolheu-se u=\ln x porque derivar \ln x simplifica (gera 1/x); escolheu-se dv=x^2 dx porque é fácil integrar x^2 para obter v. Essa é a ideia clássica do método: escolher u que simplifica ao derivar e dv fácil de integrar.

Passo 3

Calcular du e v a partir das escolhas dadas.
  • Como u=\ln x, sua diferencial é
du=\frac{d}{dx}(\ln x)\,dx=\frac{1}{x}\,dx.
  • Como dv=x^{2}\,dx, uma primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, portanto
v=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Mostrando a conta do integral: \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C, e aqui basta tomar uma primitiva específica \frac{x^{3}}{3} porque a constante será absorvida na constante final.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Substituindo u=\ln x, v=\dfrac{x^{3}}{3} e du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Simplificar o integrando restante antes de integrar:
\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{3}.
Então
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{2}}{3}\,dx.
Fatorando a constante \dfrac{1}{3} para fora do integral:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral simples \int x^{2}\,dx:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Substituindo:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} + C.
Multiplicando os fatores:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C.

Passo 7

Podemos escrever a resposta de forma fatorada, se preferir:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{9}\big(3\ln x - 1\big) + C.
Ambas as formas são equivalentes; a constante C representa qualquer constante de integração.

Passo 8

Verificação rápida (boa prática): derivar a primitiva encontrada para conferir que dá o integrando.
Tomando F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \dfrac{x^{3}}{9},
usar regra do produto para \dfrac{x^{3}}{3}\ln x:
  • derivada de \dfrac{x^{3}}{3} é x^{2};
  • derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
Então
F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}\right)'\ln x + \frac{x^{3}}{3}\left(\ln x\right)'-\left(\frac{x^{3}}{9}\right)' = x^{2}\ln x + \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x^{2}}{3}.
Simplificando o segundo e terceiro termos:
\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x^{2}}{3} = \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3} = 0,
logo F'(x)=x^{2}\ln x, que é exatamente o integrando. Verificação concluída.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C

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