Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{-14}^{7} 7 e^{x} d x= \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int 7 e^{x}\,dx.
  • Usar o resultado anterior para calcular a integral definida \displaystyle \int_{-14}^{7} 7 e^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é 7 e^{x}.
  • O intervalo para a integral definida é de x=-14 até x=7.

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vamos usar (bem devagarinho):
  • Regra do fator constante: se k é constante então \displaystyle \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx. Ou seja, podemos puxar constantes para fora da integral.
  • Antiderivada de e^{x}: a derivada de e^{x} é e^{x} e, portanto, uma antiderivada de e^{x} também é e^{x}. Isso significa que
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.
Exemplo rápido e concreto: usando a regra do fator constante,
\int 3 e^{x}\,dx = 3\int e^{x}\,dx = 3(e^{x}+C)=3e^{x}+C.
Mesma ideia vale para qualquer constante multiplicando e^{x}.

Passo 3

Aplicando o que vimos ao nosso caso com constante 7:
\int 7 e^{x}\,dx = 7\int e^{x}\,dx = 7\bigl(e^{x}+C\bigr)=7e^{x}+C.
Portanto a antiderivada (integral indefinida) é 7e^{x}+C.

Passo 4

Agora a integral definida. Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma antiderivada de f então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso F(x)=7e^{x}. Então
\int_{-14}^{7} 7 e^{x}\,dx = F(7)-F(-14) = 7e^{7}-7e^{-14}.
Fatorando 7 obtemos a forma mais limpa
\int_{-14}^{7} 7 e^{x}\,dx = 7\left(e^{7}-e^{-14}\right).

Passo 5

Uma forma alternativa, usando propriedades de expoentes, é escrever
e^{7}-e^{-14}=e^{-14}\bigl(e^{21}-1\bigr),
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\int_{-14}^{7} 7 e^{x}\,dx = 7e^{-14}\bigl(e^{21}-1\bigr).
Ambas as formas estão corretas; a escolha depende do que for mais conveniente para apresentação ou cálculo posterior. Força aí — tá certinho e é uma integral direta!

Resposta

\displaystyle \int 7 e^{x}\,dx = 7e^{x} + C
\displaystyle \int_{-14}^{7} 7 e^{x}\,dx = 7\left(e^{7}-e^{-14}\right)

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