Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\begin{aligned} & \int_{0}^{2} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x= \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
  • Usar o resultado da integral indefinida para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x\sqrt{1+2x^{2}}.
  • Os limites para a integral definida são 0 e 2.

Passo 2

Vamos construir a primitiva (antiderivada) de \displaystyle x\sqrt{1+2x^{2}}. A ideia é fazer uma substituição que torne a raiz uma potência simples. Defino a nova variável
u = 1 + 2x^{2}.
Explico o porquê: u é exatamente o que está dentro da raiz, então \sqrt{1+2x^{2}} = u^{1/2}. Agora derivamos u em relação a x para relacionar dx e x\,dx:
\frac{du}{dx} = 4x \quad\Rightarrow\quad du = 4x\,dx.
Isso permite escrever x\,dx em função de du:
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Agora substituímos na integral indefinida original. A integral
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx
fica, em u,
\int u^{1/2}\cdot \left(\frac{1}{4}\,du\right)=\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 3

Integramos \displaystyle \int u^{1/2}\,du. Lembrete rápido da regra de potência para integrais: para \displaystyle \int u^{n}\,du com n\neq -1, tem-se \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que ficou fora:
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{6}u^{3/2}+C.
Voltando à variável x (lembre que u=1+2x^{2}), obtemos a antiderivada:
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C.

Passo 4

É sempre bom checar rapidamente derivando a primitiva para confirmar (verificação pelo teorema fundamental do cálculo reverso). Derivando
F(x)=\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}
usando a regra da cadeia: F'(x)=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{1/2}\cdot(4x). Simplificando coeficientes:
F'(x)=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}\cdot 4x\cdot\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{1/2} = x\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{1/2},
que é exatamente a função integranda. Assim a primitiva está correta.

Passo 5

Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx. Pelo teorema fundamental do cálculo, se F(x)=\dfrac{1}{6}(1+2x^{2})^{3/2} então
\int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = F(2)-F(0).
Calculamos F(2) e F(0):
F(2)=\frac{1}{6}\bigl(1+2\cdot 2^{2}\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}\bigl(1+8\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}\cdot 9^{3/2}.
Como 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27, temos F(2)=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}.
E
F(0)=\frac{1}{6}\bigl(1+0\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}.
Portanto
\int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{9}{2}-\frac{1}{6}.

Passo 6

Simplificamos a diferença:
\frac{9}{2}-\frac{1}{6}=\frac{27}{6}-\frac{1}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx=\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C
\displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx=\frac{13}{3}

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