Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral indefinida
. - Usar o resultado da integral indefinida para calcular a integral definida
.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites para a integral definida são
e .
Passo 2
Vamos construir a primitiva (antiderivada) de
. A ideia é fazer uma substituição que torne a raiz uma potência simples. Defino a nova variável
Explico o porquê:
é exatamente o que está dentro da raiz, então
. Agora derivamos
em relação a
para relacionar
e
:
Isso permite escrever
em função de
:
Agora substituímos na integral indefinida original. A integral
fica, em
,
Passo 3
Integramos
. Lembrete rápido da regra de potência para integrais: para
com
, tem-se
. Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que ficou fora:
Voltando à variável
(lembre que
), obtemos a antiderivada:
Passo 4
É sempre bom checar rapidamente derivando a primitiva para confirmar (verificação pelo teorema fundamental do cálculo reverso). Derivando
usando a regra da cadeia:
. Simplificando coeficientes:
que é exatamente a função integranda. Assim a primitiva está correta.
Passo 5
Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida
. Pelo teorema fundamental do cálculo, se
então
Calculamos
e
:
Como
, temos
.
E
E
Portanto
Passo 6
Simplificamos a diferença: