Calcule a integral.
\int \cos 3 x \cos 5 x d x

Passo 1

Resumindo: queremos calcular
\int \cos 3x \cos 5x \,dx.
O conteúdo aqui é integração de produto de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade do produto para soma.

Passo 2

A identidade trigonométrica é
\cos A \cos B = \frac{1}{2}\bigl[\cos(A - B) + \cos(A + B)\bigr].

Passo 3

Aplicando com A = 3x e B = 5x, temos
\cos 3x \cos 5x = \frac{1}{2}\bigl[\cos(3x - 5x) + \cos(3x + 5x)\bigr] = \frac{1}{2}\bigl[\cos(-2x) + \cos(8x)\bigr] = \frac{1}{2}\bigl[\cos 2x + \cos 8x\bigr].

Passo 4

Logo
\int \cos 3x \cos 5x \,dx = \int \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 8x)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx + \frac{1}{2}\int \cos 8x\,dx.
Agora,
\int \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\sin 2x, \quad \int \cos 8x\,dx = \frac{1}{8}\sin 8x.
Substituindo,
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}\sin 8x + C = \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{16}\sin 8x + C.

Resposta

\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{16}\sin 8x + C.

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