Calcule a integral.
\int e^{3 x} \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int e^{3x}\cos(5x)\,dx
Este é um caso clássico de integração por partes aplicada duas vezes, pois a função é produto de e^{3x} e \cos(5x).

Passo 2

Definimos
I = \int e^{3x}\cos(5x)\,dx
e iremos aplicar integração por partes escolhendo
\displaystyle u=e^{3x} e \displaystyle dv=\cos(5x)\,dx.
Então
\displaystyle du=3e^{3x}\,dx e \displaystyle v=\frac{1}{5}\sin(5x).

Passo 3

Aplicando a fórmula
\displaystyle \int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
I = e^{3x}\cdot\frac{1}{5}\sin(5x)\;-\;\int \frac{1}{5}\sin(5x)\cdot 3e^{3x}\,dx
ou seja
I = \frac{1}{5}e^{3x}\sin(5x)\;-\;\frac{3}{5}\int e^{3x}\sin(5x)\,dx.
Chamemos
J = \int e^{3x}\sin(5x)\,dx,
então
I = \frac{1}{5}e^{3x}\sin(5x)\;-\;\frac{3}{5}J.

Passo 4

Para calcular J, aplicamos integração por partes novamente com
\displaystyle u=e^{3x} e \displaystyle dv=\sin(5x)\,dx.
Fica
\displaystyle du=3e^{3x}\,dx e \displaystyle v=-\tfrac{1}{5}\cos(5x),
logo
J = e^{3x}\Bigl(-\frac{1}{5}\cos(5x)\Bigr)\;-\;\int \Bigl(-\frac{1}{5}\cos(5x)\Bigr)\,3e^{3x}\,dx
ou seja
J = -\frac{1}{5}e^{3x}\cos(5x)\;+\;\frac{3}{5}\int e^{3x}\cos(5x)\,dx = -\frac{1}{5}e^{3x}\cos(5x)\;+\;\frac{3}{5}I.

Passo 5

Substituímos J na expressão de I:
I = \frac{1}{5}e^{3x}\sin(5x)\;-\;\frac{3}{5}\Bigl(-\tfrac{1}{5}e^{3x}\cos(5x)+\tfrac{3}{5}I\Bigr).
Distribuindo e recolhendo I em um lado:
I = \frac{1}{5}e^{3x}\sin(5x)+\frac{3}{25}e^{3x}\cos(5x)-\frac{9}{25}I \quad\Longrightarrow\quad I\,\bigl(1+\tfrac{9}{25}\bigr) = \frac{1}{5}e^{3x}\sin(5x)+\frac{3}{25}e^{3x}\cos(5x).
Como 1+\tfrac{9}{25}=\tfrac{34}{25}, segue
I = \frac{25}{34}\Bigl(\frac{1}{5}e^{3x}\sin(5x)+\frac{3}{25}e^{3x}\cos(5x)\Bigr) = \frac{e^{3x}}{34}\bigl(5\sin(5x)+3\cos(5x)\bigr).

Resposta

\int e^{3x}\cos(5x)\,dx = \frac{e^{3x}}{34}\bigl(3\cos(5x)+5\sin(5x)\bigr)+C.

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