Calcule a integral \int_{0}^{1} f(x) d x quando:
f(x)=3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de f(x)=3x no intervalo de 0 até 1. O conteúdo aqui é o cálculo de uma antiderivada (primitiva) de um polinômio e a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de f(x)=3x, usamos a regra básica
\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Assim,
\int 3x\,dx = 3 \int x\,dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de 0 a 1 é dada por
\int_{0}^{1}3x\,dx = \Bigl[\tfrac{3x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{3\cdot1^2}{2} - \frac{3\cdot0^2}{2}.

Passo 4

Calculando os valores nos extremos do intervalo:
\frac{3\cdot1^2}{2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{3\cdot0^2}{2} = 0.
Logo,
\int_{0}^{1}3x\,dx = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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