- Calcule a integral
, onde C :
.
Sugestão: Utilize a fórmula integral de Cauchy-Goursat e use o frações parciais para executar a integração do integrando.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a circunferência
. Informações dadas e o que precisamos responder:
- A curva
é a circunferência de centro e raio . - O integrando é a função racional
. - A sugestão é usar a fórmula integral de Cauchy-Goursat e frações parciais.
- A pergunta é: qual é o valor numérico (complexo) da integral
?
Passo 2
Identificar os pontos singulares (raízes do denominador) e verificar quais estão dentro da curva
.
Fatoramos o denominador:
Logo os pontos singulares (pólos) são
e
.
Agora verificamos se cada polo está dentro da circunferência
:
Adotamos a orientação padrão positiva (contrária aos ponteiros do relógio). Conclusão: só o polo
está dentro de
.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais para escrever o integrando como soma de termos simples.
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes de
e dos termos constantes temos o sistema linear
Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição):
Então
Portanto a decomposição é
Passo 4
Explicar e aplicar o teorema de Cauchy-Goursat / fórmula integral de Cauchy para integrar termo a termo.
Teorema/fato usado (explicado de forma direta): se
é analítica em uma região que contém uma curva fechada
e seu interior, então
Além disso, a fórmula de Cauchy para o caso simples diz que, para
no interior de
e
analítica, temos
No caso particular
(constante), obtemos
quando
está dentro de
, e a integral é
se
está fora de
.
Motivação do método: ao decompor em frações parciais obtemos termos da forma constante vezes
, que são precisamente os casos em que a fórmula de Cauchy dá um valor imediato (ou zero, se o polo estiver fora). Por isso esse método é rápido e direto.
Passo 5
Aplicar a decomposição e calcular a integral termo a termo.
Usando a decomposição do Passo 3:
Separando:
Pelo Passo 2 sabemos que
está dentro de
e
está fora. Aplicando o resultado do Passo 4:
Portanto