1. Calcule a integral I=\int_{C} \frac{(5 z-7)}{z^{2}+2 z-3} d z, onde C : |z-2|=2.
Sugestão: Utilize a fórmula integral de Cauchy-Goursat e use o frações parciais para executar a integração do integrando.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{C}\frac{5z-7}{z^{2}+2z-3}\,dz,
onde C é a circunferência |z-2|=2. Informações dadas e o que precisamos responder:
  • A curva C é a circunferência de centro 2 e raio 2.
  • O integrando é a função racional \dfrac{5z-7}{z^{2}+2z-3}.
  • A sugestão é usar a fórmula integral de Cauchy-Goursat e frações parciais.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico (complexo) da integral I?

Passo 2

Identificar os pontos singulares (raízes do denominador) e verificar quais estão dentro da curva C.
Fatoramos o denominador:
z^{2}+2z-3=(z-1)(z+3).
Logo os pontos singulares (pólos) são z=1 e z=-3.
Agora verificamos se cada polo está dentro da circunferência |z-2|=2:
|1-2|=1<2\quad\text{(portanto \(z=1\) está dentro de \(C\))},á
|-3-2|=5>2\quad\text{(portanto \(z=-3\) está fora de \(C\))}.á
Adotamos a orientação padrão positiva (contrária aos ponteiros do relógio). Conclusão: só o polo z=1 está dentro de C.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais para escrever o integrando como soma de termos simples.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{5z-7}{(z-1)(z+3)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+3}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z+3) obtemos
5z-7 = A(z+3)+B(z-1).
Expandindo o lado direito:
5z-7 = (A+B)z + (3A - B).
Igualando coeficientes de z e dos termos constantes temos o sistema linear
\begin{cases} A+B = 5,\\[4pt] 3A - B = -7. \end{cases}
Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição):
(A+B) + (3A - B) = 5 + (-7) \implies 4A = -2 \implies A = -\tfrac{1}{2}.
Então
B = 5 - A = 5 - \left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{11}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{5z-7}{(z-1)(z+3)} = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{z-1} + \tfrac{11}{2}\cdot\frac{1}{z+3}.]

Passo 4

Explicar e aplicar o teorema de Cauchy-Goursat / fórmula integral de Cauchy para integrar termo a termo.
Teorema/fato usado (explicado de forma direta): se f é analítica em uma região que contém uma curva fechada C e seu interior, então
\int_{C} f(z)\,dz = 0.
Além disso, a fórmula de Cauchy para o caso simples diz que, para a no interior de C e g analítica, temos
\int_{C}\frac{g(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,g(a).
No caso particular g(z)\equiv 1 (constante), obtemos
\int_{C}\frac{1}{z-a}\,dz = 2\pi i
quando a está dentro de C, e a integral é 0 se a está fora de C.
Motivação do método: ao decompor em frações parciais obtemos termos da forma constante vezes \dfrac{1}{z-a}, que são precisamente os casos em que a fórmula de Cauchy dá um valor imediato (ou zero, se o polo estiver fora). Por isso esse método é rápido e direto.

Passo 5

Aplicar a decomposição e calcular a integral termo a termo.
Usando a decomposição do Passo 3:
I=\int_{C}\left(-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{z-1} + \tfrac{11}{2}\cdot\frac{1}{z+3}\right)\,dz.
Separando:
I = -\tfrac{1}{2}\int_{C}\frac{1}{z-1}\,dz \;+\; \tfrac{11}{2}\int_{C}\frac{1}{z+3}\,dz.
Pelo Passo 2 sabemos que z=1 está dentro de C e z=-3 está fora. Aplicando o resultado do Passo 4:
\int_{C}\frac{1}{z-1}\,dz = 2\pi i,
\int_{C}\frac{1}{z+3}\,dz = 0.
Portanto
I = -\tfrac{1}{2}\cdot 2\pi i + \tfrac{11}{2}\cdot 0 = -\pi i.

Resposta

-\pi i

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