Calcule a integral.
\int \frac{2 x+5}{x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x+5}{x-3}\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de função racional, que pode ser simplificada por divisão polinomial, e depois uso de
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\bigl\lvert x-a\bigr\rvert.

Passo 2

Fazendo a divisão de 2x+5 por x-3, obtemos quociente 2 e resto 11, pois
2x+5 = 2\,(x-3) + 11.
Logo,
\frac{2x+5}{x-3} = 2 + \frac{11}{x-3}.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\int \frac{2x+5}{x-3}\,dx = \int 2\,dx + \int \frac{11}{x-3}\,dx.
Sabendo que \int 2\,dx = 2x e
\int \frac{11}{x-3}\,dx = 11 \int \frac{1}{x-3}\,dx = 11 \ln\bigl\lvert x-3\bigr\rvert,
temos os dois termos integrados.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, a primitiva é
2x + 11 \ln\bigl\lvert x-3\bigr\rvert + C.

Resposta

2x + 11 \ln\bigl\lvert x-3\bigr\rvert + C.

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