Calcule a integral.
\int \frac{\operatorname{sen} x-\cos x}{\operatorname{sen} x+\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\displaystyle \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição ao reconhecer que o denominador e sua derivada aparecem na expressão.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
u = \sin x + \cos x.
Calculamos sua diferencial:
du = (\cos x - \sin x)\,dx.
Observe que o numerador \sin x - \cos x é exatamente -(\cos x - \sin x), ou seja,
(\sin x - \cos x)\,dx = -\,du.

Passo 3

Em função de u, a integral original transforma-se em
\int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}\,dx = \int \frac{-\,du}{u} = -\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Integrando em u, temos
-\int \frac{du}{u} = -\ln\!\bigl|u\bigr| + C.
Voltando a x, substituímos u = \sin x + \cos x.

Resposta

-\ln\bigl|\sin x + \cos x\bigr| + C.

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