Calcule a integral:
\int_{1}^{4}\left(\frac{1+x}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{1}^{4}\left(\frac{1+x}{\sqrt{x}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1+x}{\sqrt{x}}.
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 4 (superior).
    Pergunta que preciso responder: qual é o valor numérico da integral definida acima?

Passo 2

Primeiro vamos simplificar algebricamente o integrando. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
\frac{1+x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}}.
Usando regras de potências (dividir potências subtrai expoentes), temos
\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2},\qquad \frac{x}{\sqrt{x}}=x^{1-1/2}=x^{1/2}.
Portanto
\frac{1+x}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}+x^{1/2}.
Explicando rápido a regra usada: se x^a/x^b=x^{a-b}. Aqui para \dfrac{x}{x^{1/2}}=x^{1-1/2}=x^{1/2}.

Passo 3

Pela propriedade linear da integral (a integral da soma é a soma das integrais), reescrevo a integral como
\int_{1}^{4}\left(x^{-1/2}+x^{1/2}\right)\,dx = \int_{1}^{4}x^{-1/2}\,dx+\int_{1}^{4}x^{1/2}\,dx.
A propriedade usada: se f e g são funções integráveis então \int (f+g)=\int f+\int g.

Passo 4

Agora aplico a regra de primitiva para potências: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui vou calcular primitivas (antiderivadas) das duas potências:
  • Para x^{-1/2}: n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2}. A primitiva é
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
  • Para x^{1/2}: n=\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{3}{2}. A primitiva é
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Juntando,
F(x)=2x^{1/2}+\frac{2}{3}x^{3/2}
é uma primitiva do integrando.

Passo 5

Para integral definida uso o teorema fundamental do cálculo: \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a) onde F é uma primitiva de f. Então
\int_{1}^{4}\left(\frac{1+x}{\sqrt{x}}\right)\,dx =F(4)-F(1).
Calculo F(4) e F(1). Lembre que x^{1/2}=\sqrt{x} e x^{3/2}=(\sqrt{x})^{3}.
  • Para x=4: \sqrt{4}=2 e 4^{3/2}=2^{3}=8. Então
F(4)=2\cdot 2+\frac{2}{3}\cdot 8=4+\frac{16}{3}.
  • Para x=1: \sqrt{1}=1 e 1^{3/2}=1. Então
F(1)=2\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot 1=2+\frac{2}{3}.
Agora subtraio:
F(4)-F(1)=\left(4+\frac{16}{3}\right)-\left(2+\frac{2}{3}\right) = (4-2)+\left(\frac{16}{3}-\frac{2}{3}\right) =2+\frac{14}{3}.
Transformando 2 em terços: 2=\frac{6}{3}, então
2+\frac{14}{3}=\frac{6}{3}+\frac{14}{3}=\frac{20}{3}.

Passo 6

Resultado final obtido: a integral definida vale \dfrac{20}{3}. Excelente — você viu as etapas: simplificar o integrando, separar a integral, usar a regra de potências para primitivas e avaliar nos limites. Se quiser, posso mostrar o mesmo processo com outra integral parecida para treinar.

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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