Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
Pergunta que preciso responder: qual é o valor numérico da integral definida acima?
Passo 2
Primeiro vamos simplificar algebricamente o integrando. Lembre que
. Então
Usando regras de potências (dividir potências subtrai expoentes), temos
Portanto
Explicando rápido a regra usada: se
. Aqui para
.
Passo 3
Pela propriedade linear da integral (a integral da soma é a soma das integrais), reescrevo a integral como
A propriedade usada: se
e
são funções integráveis então
.
Passo 4
Agora aplico a regra de primitiva para potências: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui vou calcular primitivas (antiderivadas) das duas potências:
- Para
: , então . A primitiva é
- Para
: , então . A primitiva é
Juntando,
é uma primitiva do integrando.
Passo 5
Para integral definida uso o teorema fundamental do cálculo:
onde
é uma primitiva de
. Então
Calculo
e
. Lembre que
e
.
- Para
: e . Então
- Para
: e . Então
Agora subtraio:
Transformando
em terços:
, então
Passo 6
Resultado final obtido: a integral definida vale
. Excelente — você viu as etapas: simplificar o integrando, separar a integral, usar a regra de potências para primitivas e avaliar nos limites. Se quiser, posso mostrar o mesmo processo com outra integral parecida para treinar.