6) Determine f_{y}(0,3,1) da função f(x, y, z)=\frac{y}{x+y+z} .

Passo 1

O problema pede para determinar f_{y}(0,3,1) da função
f(x,y,z)=\frac{y}{x+y+z}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{y}{x+y+z}.
  • O ponto onde devemos avaliar a derivada parcial é (x,y,z)=(0,3,1).
  • A pergunta específica é: calcular a derivada parcial de f em relação a y no ponto indicado, ou seja f_{y}(0,3,1).

Passo 2

O que significa f_{y}(a,b,c)? É a derivada parcial de f em relação a y no ponto (a,b,c). Por definição:
f_{y}(a,b,c)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h,c)-f(a,b,c)}{h},
ou seja, diferenciamos em relação a y mantendo x e z fixos. Na prática, em provas costuma-se aplicar regras de derivação (como regra do quociente ou produto) tratando x e z como constantes.

Passo 3

Escolhemos usar a regra do quociente porque f está escrita como uma fração. A regra do quociente para uma função de y
g(y)=\frac{u(y)}{v(y)}
diz que
g'(y)=\frac{u'(y)\,v(y)-u(y)\,v'(y)}{v(y)^2}.
Aqui, ao derivar em relação a y, consideramos x e z constantes. Identificamos:
u(y)=y,\qquad v(y)=x+y+z.
Então
u'(y)=1,\qquad v'(y)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f_{y}(x,y,z)=\frac{1\cdot (x+y+z)-y\cdot 1}{(x+y+z)^2}.
Simplificando o numerador:
x+y+z - y = x+z.
Portanto
f_{y}(x,y,z)=\frac{x+z}{(x+y+z)^2}.

Passo 5

Agora avaliamos em (x,y,z)=(0,3,1). Substituindo:
x+z = 0+1 = 1,
x+y+z = 0+3+1 = 4,
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f_{y}(0,3,1)=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}.

Resposta

\dfrac{1}{16}

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