6) Determine f_{y}(0,3,1) da função f(x, y, z)=\frac{y}{x+y+z} .
Passo 1
O problema pede para determinar
da função
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar a derivada parcial é
. - A pergunta específica é: calcular a derivada parcial de
em relação a no ponto indicado, ou seja .
Passo 2
O que significa
? É a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Por definição:
ou seja, diferenciamos em relação a
mantendo
e
fixos. Na prática, em provas costuma-se aplicar regras de derivação (como regra do quociente ou produto) tratando
e
como constantes.
Passo 3
Escolhemos usar a regra do quociente porque
está escrita como uma fração. A regra do quociente para uma função de
diz que
Aqui, ao derivar em relação a
, consideramos
e
constantes. Identificamos:
Então
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 5
Agora avaliamos em
. Substituindo:
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