Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 4}\left(\frac{1}{t+1} \mathbf{i}+\frac{1}{t^{2}+1} \mathbf{j}+\frac{2 t}{t+1} \mathbf{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do vetor função no intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{4}\right]. Os dados são:
  • Função a integrar:
\mathbf{F}(t)=\frac{1}{t+1}\,\mathbf{i}+\frac{1}{t^{2}+1}\,\mathbf{j}+\frac{2t}{t+1}\,\mathbf{k}.
  • Intervalo de integração: \left[0,\tfrac{\pi}{4}\right].
A pergunta é: calcular
\int_{0}^{\pi/4}\mathbf{F}(t)\,dt.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (sem formalidades chatas): a integral de um campo vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
\int_{0}^{\pi/4}\mathbf{F}(t)\,dt = \left( \int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t+1}\,dt \right)\mathbf{i} + \left( \int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt \right)\mathbf{j} + \left( \int_{0}^{\pi/4}\frac{2t}{t+1}\,dt \right)\mathbf{k}.
Vou calcular cada integral escalar separadamente.

Passo 3

Primeira componente: \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t+1}\,dt.
Lembrete rápido: a primitiva de \dfrac{1}{t+1} é \ln|t+1|, porque \dfrac{d}{dt}\ln|t+1|=\dfrac{1}{t+1}.
Portanto uma primitiva é \ln(t+1) (no intervalo dado t+1>0, então o valor absoluto não é necessário). Avaliando de 0 a \tfrac{\pi}{4}:
\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t+1}\,dt = \left.\ln(t+1)\right|_{0}^{\pi/4} = \ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right)-\ln(1).
Como \ln(1)=0, obtemos
\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t+1}\,dt=\ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Segunda componente: \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
Lembrete: a primitiva de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan t, pois \dfrac{d}{dt}\arctan t=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
Assim,
\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \left.\arctan t\right|_{0}^{\pi/4} = \arctan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\arctan(0).
E \arctan(0)=0, logo
\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=\arctan\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Terceira componente: \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\frac{2t}{t+1}\,dt.
Antes de integrar, simplifico a função racional. Faço uma divisão simples:
\frac{2t}{t+1} =2\cdot\frac{t+1-1}{t+1} =2\left(1-\frac{1}{t+1}\right) =2-\frac{2}{t+1}.
Isso é útil porque integrar 2 e -\dfrac{2}{t+1} é direto.
Uma primitiva é
\int\left(2-\frac{2}{t+1}\right)dt=2t-2\ln(t+1)+C.
Agora avalio de 0 a \tfrac{\pi}{4}:
\int_{0}^{\pi/4}\frac{2t}{t+1}\,dt = \left.\big(2t-2\ln(t+1)\big)\right|_{0}^{\pi/4} = \left(2\cdot\frac{\pi}{4}-2\ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right)\right) - \big(0-2\ln 1\big).
Como \ln 1=0, fica
\int_{0}^{\pi/4}\frac{2t}{t+1}\,dt=\frac{\pi}{2}-2\ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 6

Agora monto o vetor resultante juntando as três componentes que calculei:
  • componente \mathbf{i}: \ln\!\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right),
  • componente \mathbf{j}: \arctan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right),
  • componente \mathbf{k}: \dfrac{\pi}{2}-2\ln\!\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right).
Portanto a integral vetorial é
\int_{0}^{\pi/4}\mathbf{F}(t)\,dt = \ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right)\,\mathbf{i} + \arctan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\,\mathbf{j} + \left(\frac{\pi}{2}-2\ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right)\right)\mathbf{k}.

Resposta

\ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right)\,\mathbf{i} +\arctan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\,\mathbf{j} +\left(\frac{\pi}{2}-2\ln\!\left(1+\frac{\pi}{4}\right)\right)\mathbf{k}

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