Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral do vetor função no intervalo
. Os dados são:
- Função a integrar:
- Intervalo de integração:
.
A pergunta é: calcular
Passo 2
Regra básica que vamos usar (sem formalidades chatas): a integral de um campo vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
Vou calcular cada integral escalar separadamente.
Passo 3
Primeira componente:
.
Lembrete rápido: a primitiva de
é
, porque
.
Portanto uma primitiva é
(no intervalo dado
, então o valor absoluto não é necessário). Avaliando de
a
:
Como
, obtemos
Passo 4
Segunda componente:
.
Lembrete: a primitiva de
é
, pois
.
Assim,
E
, logo
Passo 5
Terceira componente:
.
Antes de integrar, simplifico a função racional. Faço uma divisão simples:
Isso é útil porque integrar
e
é direto.
Uma primitiva é
Agora avalio de
a
:
Como
, fica
Passo 6
Agora monto o vetor resultante juntando as três componentes que calculei:
- componente
: , - componente
: , - componente
: .
Portanto a integral vetorial é