Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(6 t^{2} \mathbf{i}+t \mathbf{j}-8 t^{3} \mathbf{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida do campo vetorial entre \,t=0 e \,t=1:
\int_{0}^{1}\bigl(6 t^{2} \mathbf{i}+t \mathbf{j}-8 t^{3} \mathbf{k}\bigr)\,dt.
Informações dadas e o que se quer:
  • O integrando é um vetor cujas componentes em \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são, respectivamente, \,6t^{2}, \,t e -8t^{3}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Objetivo: calcular a integral definida e obter o vetor resultante.

Passo 2

Ideia do método (explicação do porquê): integrais de funções vetoriais são feitas componente a componente, porque a integral é linear e os vetores unitários são constantes. Em forma matemática:
\int_{a}^{b}\bigl(f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\bigr)\,dt = \left(\int_{a}^{b}f(t)\,dt\right)\mathbf{i} +\left(\int_{a}^{b}g(t)\,dt\right)\mathbf{j} +\left(\int_{a}^{b}h(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Aqui f(t)=6t^{2}, g(t)=t, h(t)=-8t^{3}. Vamos integrar cada uma separadamente.

Passo 3

Relembrando as ferramentas básicas que vamos usar:
  • Regra da constante: \displaystyle\int c\cdot u(t)\,dt = c\int u(t)\,dt, onde c é constante.
  • Regra da potência (antiderivada): para \,n\neq-1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração (para integrais definidas usamos a versão avaliada).
  • Teorema fundamental do cálculo (para integrais definidas): se F é antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Usaremos essas regras para cada componente no intervalo [0,1].

Passo 4

Integral da componente em \mathbf{i}:
\int_{0}^{1} 6t^{2}\,dt.
Aplicando regra da constante e da potência:
\int 6t^{2}\,dt = 6\cdot\frac{t^{3}}{3} = 2t^{3}.
Avaliação no intervalo [0,1]:
\left.2t^{3}\right|_{0}^{1} = 2\cdot 1^{3} - 2\cdot 0^{3} = 2.
Portanto a integral da componente \mathbf{i} é 2.

Passo 5

Integral da componente em \mathbf{j}:
\int_{0}^{1} t\,dt.
Antiderivada pela regra da potência:
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}.
Avaliação em [0,1]:
\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{1}{2}.
Portanto a integral da componente \mathbf{j} é \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Integral da componente em \mathbf{k}:
\int_{0}^{1} -8t^{3}\,dt.
Tirando a constante -8 e aplicando a regra da potência:
\int -8t^{3}\,dt = -8\cdot\frac{t^{4}}{4} = -2t^{4}.
Avaliação em [0,1]:
\left.-2t^{4}\right|_{0}^{1} = -2\cdot 1^{4} - (-2\cdot 0^{4}) = -2.
Portanto a integral da componente \mathbf{k} é -2.

Passo 7

Resumo das componentes obtidas (sem montar ainda o vetor final):
  • Componente \mathbf{i}: 2.
  • Componente \mathbf{j}: \dfrac{1}{2}.
  • Componente \mathbf{k}: -2.

Resposta

\;2\mathbf{i}+\dfrac{1}{2}\mathbf{j}-2\mathbf{k}

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