Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
x=e^{t}, y=t e^{t}, z=t e^{t} ; (1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=e^{t},\qquad y=t e^{t},\qquad z=t e^{t},
e pede as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto (1,0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é dada por \mathbf{r}(t)=(e^{t},\,t e^{t},\,t e^{t}).
  • O ponto de tangência é (1,0,0).
  • Preciso determinar o parâmetro t_0 correspondente a esse ponto e a direção do vetor tangente \mathbf{r}'(t_0), para então escrever a reta tangente.

Passo 2

Primeiro encontro o valor de t que gera o ponto (1,0,0).
Da coordenada x temos
e^{t}=1.
A equação e^{t}=1 tem solução
t=0.
Verifico as outras coordenadas em t=0:
y(0)=0\cdot e^{0}=0,\qquad z(0)=0\cdot e^{0}=0,
que coincidem com o ponto dado. Portanto o parâmetro do ponto é t_{0}=0.

Passo 3

Agora vou calcular o vetor velocidade (derivada) \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)). Lembrete das regras de derivação que vou usar:
  • A derivada de e^{t} é e^{t}.
  • A regra do produto: se u(t)=t e v(t)=e^{t}, então (uv)'=u'v+uv'.
Aplico isso às componentes:
x'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t},
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(t e^{t}\big)=1\cdot e^{t}+t\cdot e^{t}=e^{t}(1+t),
z'(t)=\frac{d}{dt}\big(t e^{t}\big)=e^{t}(1+t).

Passo 4

Avalio o vetor velocidade em t_{0}=0:
x'(0)=e^{0}=1,
y'(0)=e^{0}(1+0)=1,
z'(0)=e^{0}(1+0)=1.
Logo o vetor tangente (direção da reta) no ponto é \mathbf{v}=\mathbf{r}'(0)=(1,1,1).
Interpretação geométrica rápida: a reta tangente passa pelo ponto \mathbf{r}(0)=(1,0,0) e tem direção dada por (1,1,1).

Passo 5

Fórmula geral da reta tangente a uma curva paramétrica no parâmetro t_{0}: se \mathbf{r}(t_{0}) é o ponto e \mathbf{r}'(t_{0}) o vetor direção, então a reta pode ser escrita em forma vetorial como
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(t_{0})+s\,\mathbf{r}'(t_{0}),
onde s é o parâmetro da reta. Aqui \mathbf{r}(0)=(1,0,0) e \mathbf{r}'(0)=(1,1,1). A partir disso obtém-se as equações paramétricas da reta (escrevo só a forma vetorial/nos vetores neste passo; as equações finais aparecem na seção de resposta).

Resposta

x=1+s
y=s
z=s

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