Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva é dada por
. - O ponto de tangência é
. - Preciso determinar o parâmetro
correspondente a esse ponto e a direção do vetor tangente , para então escrever a reta tangente.
Passo 2
Primeiro encontro o valor de
que gera o ponto
.
Da coordenada
temos
A equação
tem solução
Verifico as outras coordenadas em
:
que coincidem com o ponto dado. Portanto o parâmetro do ponto é
.
Passo 3
Agora vou calcular o vetor velocidade (derivada)
. Lembrete das regras de derivação que vou usar:
- A derivada de
é . - A regra do produto: se
e , então .
Aplico isso às componentes:
Passo 4
Avalio o vetor velocidade em
:
Logo o vetor tangente (direção da reta) no ponto é
.
Interpretação geométrica rápida: a reta tangente passa pelo ponto
e tem direção dada por
.
Passo 5
Fórmula geral da reta tangente a uma curva paramétrica no parâmetro
: se
é o ponto e
o vetor direção, então a reta pode ser escrita em forma vetorial como
onde
é o parâmetro da reta. Aqui
e
. A partir disso obtém-se as equações paramétricas da reta (escrevo só a forma vetorial/nos vetores neste passo; as equações finais aparecem na seção de resposta).