Calcule a integral.
\int_{0}^{2}\left(z^{4}-2 z^{3}\right) d z

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{2}\bigl(z^{4}-2z^{3}\bigr)\,dz
O conteúdo aqui é a regra de potência para antiderivadas e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Usando a regra de potência, uma antiderivada de z^{4} é \tfrac{z^{5}}{5} e de -2z^{3} é -2\cdot\tfrac{z^{4}}{4}=-\tfrac{z^{4}}{2}. Logo,
F(z)=\frac{z^{5}}{5}-\frac{z^{4}}{2}
é uma primitiva de z^{4}-2z^{3}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{2}(z^{4}-2z^{3})\,dz = F(2)-F(0).
Calculemos cada termo:
F(2)=\frac{2^{5}}{5}-\frac{2^{4}}{2}=\frac{32}{5}-8, \quad F(0)=0.

Passo 4

Simplificando F(2):
\frac{32}{5}-8=\frac{32}{5}-\frac{40}{5}=-\frac{8}{5}.
Como F(0)=0, o valor da integral é -\tfrac{8}{5}.

Resposta

-\tfrac{8}{5}

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