Calcule a integral.
\int_{-3}^{3}\left|x^{3}+x^{2}-2 x\right| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-3}^{3}\bigl|x^{3}+x^{2}-2x\bigr|\,dx.
O conteúdo aqui é integração de valor absoluto de um polinômio. Para resolver, vamos:
  1. fatorar o polinômio e encontrar suas raízes;
  2. determinar o sinal em cada subintervalo;
  3. integrar o polinômio em cada trecho e aplicar o valor absoluto;
  4. somar os resultados.

Passo 2

Fatoramos
x^{3}+x^{2}-2x = x\,(x^{2}+x-2) = x\,(x+2)\,(x-1).
As raízes são x=-2, x=0 e x=1, que particionam o intervalo [-3,3] em quatro trechos.

Passo 3

Analisando o sinal de f(x)=x(x+2)(x-1):
  • Em (-3,-2), f(x)<0.
  • Em (-2,0), f(x)>0.
  • Em (0,1), f(x)<0.
  • Em (1,3), f(x)>0.
    Logo
\int_{-3}^{3}\bigl|f(x)\bigr|\,dx =-\int_{-3}^{-2}f(x)\,dx +\int_{-2}^{0}f(x)\,dx -\int_{0}^{1}f(x)\,dx +\int_{1}^{3}f(x)\,dx.

Passo 4

Uma primitiva de f(x)=x^{3}+x^{2}-2x é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}.

Passo 5

Calculamos em cada trecho:
  1. \displaystyle \int_{-3}^{-2}f(x)\,dx=F(-2)-F(-3)=-\frac{59}{12}, contribui +\tfrac{59}{12}.
  2. \displaystyle \int_{-2}^{0}f(x)\,dx=F(0)-F(-2)=\frac{8}{3}, contribui +\tfrac{8}{3}.
  3. \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0)=-\frac{5}{12}, contribui +\tfrac{5}{12}.
  4. \displaystyle \int_{1}^{3}f(x)\,dx=F(3)-F(1)=\frac{62}{3}, contribui +\tfrac{62}{3}.

Passo 6

Somando todas as contribuições em duodécimos:
\frac{59}{12}+\frac{8}{3}+\frac{5}{12}+\frac{62}{3} =\frac{59+32+5+248}{12} =\frac{344}{12} =\frac{86}{3}.

Resposta

\dfrac{86}{3}

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