Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \sqrt{z}(z+\sqrt[3]{z}) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \sqrt{z}\,(z+\sqrt[3]{z})\,dz.
O conteúdo envolvido é integração de funções polinomiais em potências de z. Vamos reescrever o integrando como soma de potências e usar a regra do levantamento de expoentes (regra de potência).

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos de potências de z:
\sqrt{z}\,(z+\sqrt[3]{z}) = z^{\tfrac12}\cdot z + z^{\tfrac12}\cdot z^{\tfrac13} = z^{\tfrac32} + z^{\tfrac56}.
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\int_{0}^{1} \sqrt{z}\,(z+\sqrt[3]{z})\,dz = \int_{0}^{1} z^{\tfrac32}\,dz \;+\;\int_{0}^{1} z^{\tfrac56}\,dz.

Passo 3

Aplicando a regra de potência \displaystyle \int z^{\alpha}dz = \frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}, temos:
\int z^{\tfrac32}\,dz = \frac{z^{\tfrac52}}{\tfrac52} = \frac{2}{5}\,z^{\tfrac52},
\int z^{\tfrac56}\,dz = \frac{z^{\tfrac{11}{6}}}{\tfrac{11}{6}} = \frac{6}{11}\,z^{\tfrac{11}{6}}.

Passo 4

Avaliamo-s de 0 a 1:
\left[\frac{2}{5}\,z^{\tfrac{5}{2}} + \frac{6}{11}\,z^{\tfrac{11}{6}}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}\cdot1 + \frac{6}{11}\cdot1 = \frac{2}{5} + \frac{6}{11} = \frac{22}{55} + \frac{30}{55} = \frac{52}{55}.

Resposta

\displaystyle \frac{52}{55}

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