Calcule a integral.
\int \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função trigonométrica:
\int \sin^2 x \,\cos^3 x \,dx.
Aqui vamos usar a técnica de reescrever potências pares com identidades trigonométricas e depois fazer uma substituição simples.

Passo 2

Note que podemos separar uma cópia de \cos x para usar no dx e reescrever o resto em termos de \sin x:
\cos^3 x = \cos^2 x \,\cos x = \bigl(1 - \sin^2 x\bigr)\cos x.
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\int \sin^2 x \,\cos^3 x \,dx = \int \sin^2 x \,\bigl(1 - \sin^2 x\bigr)\cos x \,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x \,dx.
A integral passa a ser
\int u^2 \,(1 - u^2)\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando e integrando termo a termo:
u^2(1 - u^2) = u^2 - u^4,
então
\int \bigl(u^2 - u^4\bigr)\,du = \int u^2\,du - \int u^4\,du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u=\sin x:
\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C.

Resposta

\int \sin^2 x \,\cos^3 x \,dx = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C.

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