Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{4}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando substituição de variável. Quando aparece potência ímpar de \tan x e potência par de \operatorname{sec} x, a dica é tomar u=\tan x, pois du=\operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 2

Reescrevemos
\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{4}x = \tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x,
de modo que um fator \operatorname{sec}^2 x\,dx vira du. Com u=\tan x temos
du = \operatorname{sec}^2 x\,dx, \qquad \operatorname{sec}^2 x = 1+\tan^2 x = 1+u^2.
Os limites mudam: quando x=0, u=0; quando x=\pi/4, u=1. Assim
\int_{0}^{\pi/4}\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{4}x\,dx =\int_{0}^{1}u^{3}(1+u^{2})\,du.

Passo 3

Expandimos o integrando e encontramos a antiderivada:
\int_{0}^{1}(u^{3}+u^{5})\,du =\left[\frac{u^{4}}{4}+\frac{u^{6}}{6}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}+\frac{1}{6}.

Passo 4

Somando as frações obtemos
\frac{1}{4}+\frac{1}{6} =\frac{3}{12}+\frac{2}{12} =\frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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