Calcule a integral.
\int \frac{\operatorname{sen} 2 x}{\sqrt{9-\cos ^{4} x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{9-\cos^{4}x}}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \cos^{2}x envolve \sin 2x.

Passo 2

Use a identidade \sin 2x = 2\sin x\cos x para perceber que a combinação \sin 2x\,dx aparece ao derivar \cos^{2}x.

Passo 3

Defina a substituição
t = \cos^{2}x.
Então
dt = 2\cos x\cdot(-\sin x)\,dx = -\sin 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin 2x\,dx = -\,dt.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de t, temos
\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{9-\cos^{4}x}}\,dx = \int \frac{-\,dt}{\sqrt{9 - t^{2}}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{9 - t^{2}}}.
Sabemos que
\int \frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr) + C.
Aqui a=3, logo
-\int \frac{dt}{\sqrt{9 - t^{2}}} = -\arcsin\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr) + C.

Passo 5

Volte à variável x usando t=\cos^{2}x:
-\arcsin\!\bigl(\tfrac{\cos^{2}x}{3}\bigr) + C.

Resposta

-\,\arcsin\!\Bigl(\frac{\cos^{2}x}{3}\Bigr) + C.

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