Calcule a integral.
\int_{1}^{2} x^{3} \ln x d x

Passo 1

No enunciado, a gente precisa calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x^{3}\ln x\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos o produto de um polinômio x^3 com \ln x.

Passo 2

A fórmula de integração por partes diz
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para escolher u e dv, é comum deixar u como a parte que fica mais simples ao derivar. Então escolhemos
u = \ln x, \quad dv = x^{3} \,dx.
Dessa forma, derivamos e integramos:
du = \frac{dx}{x}, \quad v = \int x^{3}\,dx = \frac{x^4}{4}.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
\int x^{3}\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^4}{4}\ln x - \int \frac{x^4}{4}\cdot\frac{dx}{x} = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{1}{4}\int x^3\,dx.
Como \int x^3\,dx = \tfrac{x^4}{4}, segue
\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{1}{4}\cdot\frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C.

Passo 4

Agora é só avaliar de 1 a 2:
\int_{1}^{2} x^{3}\ln x\,dx = \Bigl[\frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16}\Bigr]_{1}^{2} = \Bigl(\frac{2^4}{4}\ln2 - \frac{2^4}{16}\Bigr) - \Bigl(\frac{1^4}{4}\ln1 - \frac{1^4}{16}\Bigr).
Calculando passo a passo:
2^4=16\quad\Longrightarrow\quad \frac{16}{4}\ln2 - \frac{16}{16} = 4\ln2 - 1,
\ln1=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4}\cdot 0 - \frac{1}{16} = -\frac{1}{16}.
Somando os termos,
4\ln2 - 1 -\bigl(-\tfrac{1}{16}\bigr) = 4\ln2 -1 + \frac{1}{16} = 4\ln2 - \frac{15}{16}.

Resposta

4\ln2 - \tfrac{15}{16}

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