Calcule a integral.
\int \frac{1+\cos x}{\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{1+\cos x}{\sin x}\,dx.
Este é um problema de integração de funções trigonométricas; vamos usar identidades para separar o integrando e depois aplicar integrais conhecidas de \csc x e \cot x.

Passo 2

Para simplificar o integrando, escrevemos
\frac{1+\cos x}{\sin x} \;=\;\frac{1}{\sin x} \;+\;\frac{\cos x}{\sin x} \;=\;\csc x \;+\;\cot x.

Passo 3

Usamos as primitivas conhecidas:
\int \csc x\,dx = \ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr| + C_{1}, \quad \int \cot x\,dx = \ln\bigl|\sin x\bigr| + C_{2}.
Logo,
\int(\csc x + \cot x)\,dx = \ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr| + \ln\bigl|\sin x\bigr| + C.

Passo 4

Para simplificar a soma dos logaritmos, usamos
\tan\tfrac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{\sin x} \quad\Longrightarrow\quad \sin x\;\tan\tfrac{x}{2} = 1-\cos x.
Então
\ln\bigl|\sin x\bigr| + \ln\bigl|\tan\tfrac{x}{2}\bigr| = \ln\bigl|\sin x\cdot\tan\tfrac{x}{2}\bigr| = \ln\bigl|1-\cos x\bigr|.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|1-\cos x\bigr| + C

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